1. Calcule as derivadas parciais f_{x y} e f_{y x} da função
f(x, y)=\left(x^{3}-y^{3}\right) e^{x^{2}-y^{2}}
e verifique que a igualdade f_{x y}=f_{y x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\left(x^{3}-y^{3}\right)e^{x^{2}-y^{2}}
e pede duas coisas:
  • Calcular a derivada parcial mista \,f_{x y}\, (primeiro em x, depois em y);
  • Calcular a derivada parcial mista \,f_{y x}\, (primeiro em y, depois em x);
  • Verificar se \,f_{x y}=f_{y x}.
As informações relevantes dadas são apenas a expressão de f(x,y). Não há valores numéricos a substituir; quer-se a forma simbólica das derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Pequena revisão das ferramentas que iremos usar (explicação didática):
  • Derivada parcial em x: ao calcular \partial/\partial x trata-se y como constante.
  • Derivada parcial em y: ao calcular \partial/\partial y trata-se x como constante.
  • Regra do produto (para derivadas parciais): se f=uv então
\frac{\partial f}{\partial x}=u_x v + u v_x,
onde u_x=\partial u/\partial x e v_x=\partial v/\partial x.
  • Regra da cadeia para exponenciais: se v(x,y)=e^{g(x,y)} então
v_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{g(x,y)} = e^{g(x,y)}\cdot g_x,
e análogo para v_y.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}.
Defina u(x,y)=x^{3}-y^{3} e v(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}. Então f=uv.
Primeiro calcule as derivadas parciais necessárias:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^{3}-y^{3}\right)=3x^{2},
v_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{x^{2}-y^{2}} = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}-y^{2}\right)=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x.
Agora aplique a regra do produto:
f_x = u_x v + u v_x = 3x^{2}e^{x^{2}-y^{2}} + (x^{3}-y^{3})\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x\bigr).
Fatorando e^{x^{2}-y^{2}} temos uma forma mais compacta:
f_x = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(3x^{2} + 2x(x^{3}-y^{3})\bigr).
Se preferir, expandindo o parêntese:
f_x = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(2x^{4}+3x^{2}-2x y^{3}\bigr).

Passo 4

Calcular \,f_{x y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x).
Usamos a forma fatorada f_x = e^{x^{2}-y^{2}}A(x,y) onde
A(x,y)=3x^{2}+2x(x^{3}-y^{3}).
Ao derivar em y aplicamos novamente a regra do produto (tratando x como constante):
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}A\bigr) = \bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\bigr)_y A + e^{x^{2}-y^{2}} A_y.
Calcule os termos:
\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\bigr)_y = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y).
A_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+2x(x^{3}-y^{3})\bigr) = 2x\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-y^{3}) = 2x\cdot(-3y^{2}) = -6xy^{2}.
Substituindo:
f_{x y} = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-2y\cdot A\bigr) + e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-6xy^{2}\bigr).
Fatorando e^{x^{2}-y^{2}}:
f_{x y} = e^{x^{2}-y^{2}}\Bigl(-2y\bigl(3x^{2}+2x(x^{3}-y^{3})\bigr) -6xy^{2}\Bigr).
Expandindo para uma forma polinomial:
f_{x y} = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-4x^{4}y -6x^{2}y +4xy^{4} -6xy^{2}\bigr).

Passo 5

Calcular \,f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y} e em seguida \,f_{y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y).
Começando por f_y. Novamente u=x^{3}-y^{3} e v=e^{x^{2}-y^{2}}.
Calcule
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-y^{3}) = -3y^{2},
v_y = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y).
Aplicando a regra do produto:
f_y = u_y v + u v_y = -3y^{2}e^{x^{2}-y^{2}} + (x^{3}-y^{3})\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)\bigr).
Fatorando e^{x^{2}-y^{2}}:
f_y = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-3y^{2} -2y(x^{3}-y^{3})\bigr).
Agora calcule \,f_{y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y).
Escreva f_y = e^{x^{2}-y^{2}}B(x,y) com
B(x,y) = -3y^{2} -2y(x^{3}-y^{3}).
Derivando em x:
f_{y x} = \bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\bigr)_x B + e^{x^{2}-y^{2}} B_x.
Calcule os termos:
\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\bigr)_x = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x,
B_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3y^{2} -2y(x^{3}-y^{3})\bigr) = -2y\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}-y^{3}) = -2y\cdot 3x^{2} = -6x^{2}y.
Substituindo:
f_{y x} = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(2x B -6x^{2}y\bigr).
Substituindo B e expandindo chega-se a:
f_{y x} = e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-4x^{4}y -6x^{2}y +4xy^{4} -6xy^{2}\bigr).

Passo 6

Comparação final e comentário teórico:
Observa-se que as expressões obtidas para \,f_{x y}\, e \,f_{y x}\, são idênticas:
f_{x y}(x,y)=f_{y x}(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-4x^{4}y -6x^{2}y +4xy^{4} -6xy^{2}\bigr).
Isso está de acordo com o teorema de Clairaut (teorema das derivadas parciais mistas), que diz que se as segundas derivadas parciais são contínuas numa vizinhança, então as derivadas mistas são iguais. No nosso caso f é produto de polinômios por exponencial, que é suave, logo as segundas parciais são contínuas e a igualdade é esperada.

Resposta

f_{x y}(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-4x^{4}y -6x^{2}y +4xy^{4} -6xy^{2}\bigr)
f_{y x}(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\bigl(-4x^{4}y -6x^{2}y +4xy^{4} -6xy^{2}\bigr)

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