- Calcule as derivadas parciais
e
da função
e verifique que a igualdade
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular a derivada parcial mista
(primeiro em , depois em ); - Calcular a derivada parcial mista
(primeiro em , depois em ); - Verificar se
.
As informações relevantes dadas são apenas a expressão de
. Não há valores numéricos a substituir; quer-se a forma simbólica das derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Pequena revisão das ferramentas que iremos usar (explicação didática):
- Derivada parcial em
: ao calcular trata-se como constante. - Derivada parcial em
: ao calcular trata-se como constante. - Regra do produto (para derivadas parciais): se
então
onde
e
.
- Regra da cadeia para exponenciais: se
então
e análogo para
.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Defina
e
. Então
.
Primeiro calcule as derivadas parciais necessárias:
Agora aplique a regra do produto:
Fatorando
temos uma forma mais compacta:
Se preferir, expandindo o parêntese:
Passo 4
Calcular
.
Usamos a forma fatorada
onde
Ao derivar em
aplicamos novamente a regra do produto (tratando
como constante):
Calcule os termos:
Substituindo:
Fatorando
:
Expandindo para uma forma polinomial:
Passo 5
Calcular
e em seguida
.
Começando por
. Novamente
e
.
Calcule
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Agora calcule
.
Escreva
com
Derivando em
:
Calcule os termos:
Substituindo:
Substituindo
e expandindo chega-se a:
Passo 6
Comparação final e comentário teórico:
Observa-se que as expressões obtidas para
e
são idênticas:
Isso está de acordo com o teorema de Clairaut (teorema das derivadas parciais mistas), que diz que se as segundas derivadas parciais são contínuas numa vizinhança, então as derivadas mistas são iguais. No nosso caso
é produto de polinômios por exponencial, que é suave, logo as segundas parciais são contínuas e a igualdade é esperada.