- Considere a função
a) Determine e esboce o domínio de
;
b) Determine a imagem de
,
c) Determine as curvas de nível de
e faça o gráfico das mesmas (pelo menos 3 curvas de nível).
b) Determine a imagem de
c) Determine as curvas de nível de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) determinar e esboçar o domínio de
; - (b) determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
; - (c) determinar as curvas de nível de
e desenhar pelo menos três dessas curvas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A única expressão em
que pode causar problema é o denominador , que não pode ser zero. - O numerador é
, sempre . - Não há outras restrições explícitas (por exemplo, raiz quadrada ou log), então o domínio será todo
exceto onde o denominador anula.
Passo 2
Determinar o domínio: condição de validade.
O denominador não pode ser zero. Portanto o domínio
é formado pelos pares
tais que
Resolver
dá
Logo esses dois conjuntos de pontos (duas retas passando pela origem) precisam ser excluídos do plano.
Conclusão descritiva para o domínio: o domínio é todo
exceto as retas
e
. Em notação:
Passo 3
Esboço do domínio (como fazer na prova, passo a passo):
- Desenhar os eixos
e . - Traçar as retas que passam pela origem com inclinações correspondentes a
e ; em forma mais usual escrevemos essas retas como e . Essas são duas retas passando pela origem com coeficiente angular e em forma (ou, invertendo, e se preferir usar como função de ). - O domínio é todo o plano menos essas duas retas (ou seja, sombrear o plano e riscar as duas retas).
Observação útil: ao aproximar-se dessas retas o denominador se aproxima de zero e a função tende para
(são assimptotas verticais no sentido de que a função explode perto delas).
Passo 4
Determinar a imagem: estratégia e manipulação algébrica.
Queremos encontrar todos os valores
tais que exista
com
Para analisar isso, resolvemos a equação anterior em termos de
(é conveniente porque as equações envolvem apenas quadrados):
Multiplicando ambos os lados por
(válido quando estamos em
):
Rearranjando:
Se
podemos escrever
Para que exista algum
real com esse quadrado, o lado direito precisa ser
. Como
, e se considerarmos pontos com
(caso
será tratado separadamente), a condição reduz-se a
Passo 5
Resolver a desigualdade
e tratar casos especiais.
Fazer um quadro de sinais para a função
. As singularidades/zeros ocorrem em
e
.
- Para
: o numerador , o denominador , então a razão é (é positiva). - Para
: numerador , denominador , então a razão é . - Para
: numerador , denominador , então a razão é .
Além disso, tratar
separadamente: se
então a equação original
exige
, isto é
. Para
e
o denominador é
, então
para todo
. O ponto
não pertence ao domínio porque ali o denominador é zero. Portanto
pertence à imagem (é atingido por pontos da forma
com
).
Tratar
: quando
a expressão para
dá
. De fato,
para todo
. Então
também é atingido (por pontos
com
).
Combinar tudo: os
que satisfazem a desigualdade são
e
; mais
já está em
but we checked separately; union gives
Valores
com
não ocorrem (não há
que dêem esses valores).
Passo 6
Verificações rápidas por exemplos concretos (ajuda a fixar e a usar na prova):
- Para
e : . Assim está na imagem. - Para
e : . Assim está na imagem. - Para
por exemplo : escolhe-se qualquer e define-se para obter . - Para
por exemplo : escolhe-se e define-se para obter .
Esses cálculos confirmam a imagem encontrada.
Passo 7
Determinar as curvas de nível: equação geral.
Curva de nível para um valor constante
é o conjunto de pontos
tal que
Multiplicando e rearranjando (mesmos passos algébricos que fizemos antes):
Essa é uma equação quadrática homogênea de grau 2 que passa sempre pela origem (ou é vazia) — geometria típica: duas retas que se cruzam na origem, a reta
, a reta
, ou conjunto vazio, dependendo de
.
Passo 8
Classificação das curvas de nível conforme
.
-
Caso
: a equação reduz-se a Portanto a curva de nívelé o eixo (linha ), exceto o ponto que não pertence ao domínio. Na prática é o eixo retirando a origem. -
Caso
: substituir em dá Portanto a curva de nívelé o eixo (reta ), exceto o ponto que não pertence ao domínio. -
Caso
e : dividir por e obter Portanto, quando o fator no parêntese é, as curvas de nível são duas retas passando pela origem: A existência real deexige , que é exatamente a condição que decorre da análise da imagem: isto é satisfeita para e para . Para o termo dentro da raiz é negativo e não existem pontos reais (curva de nível vazia) — condizente com o fato de esses não estarem na imagem.
Resumo das formas geométricas:
-
: duas retas com . -
: reta (eixo , sem a origem). -
: nenhuma curva (vazio). -
: reta (eixo , sem a origem). -
: duas retas com (quando , ; quando , ).
Passo 9
Exemplos concretos de curvas de nível e instruções de esboço (pelo menos três curvas):
Escolho três valores representativos
,
e
(todos pertencentes à imagem), e também comento
.
- Para
:
Curvas de nível:
. São duas retas passando pela origem, mais inclinadas que as retas excluídas
(porque
). Desenhar duas linhas através da origem com essas inclinações.
-
Para
:
Curva de nível:. Desenhar o eixo (retirar o ponto ). -
Para
:
Curvas de nível:
. São duas retas passando pela origem com inclinações menores que
.
- Para
(caso especial):
Curva de nível:. Desenhar o eixo (retirar o ponto ).
Instruções de esboço conjunto:
- Traçar o eixo
(nível ) e o eixo (nível ). - Traçar as retas
(nível ) e (nível ). - Lembrar de riscar/indicar as retas excluídas
(domínio) — são onde a função explode e separam regiões onde a função muda de sinal/valor.
Resposta
(a)
(b)
(c) Curvas de nível: para cada
tal que
ou
tem-se
ou, quando
,
Exemplos: para
as curvas são
; para
a curva é
; para
as curvas são
; para
a curva é
.