1. Considere a função
f(x, y)=\frac{y^{2}}{9 y^{2}-x^{2}}
a) Determine e esboce o domínio de f;
b) Determine a imagem de f,
c) Determine as curvas de nível de f e faça o gráfico das mesmas (pelo menos 3 curvas de nível).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{y^{2}}{9y^{2}-x^{2}}
e pede três coisas:
  • (a) determinar e esboçar o domínio de f;
  • (b) determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f;
  • (c) determinar as curvas de nível de f e desenhar pelo menos três dessas curvas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A única expressão em f que pode causar problema é o denominador 9y^{2}-x^{2}, que não pode ser zero.
  • O numerador é y^{2}, sempre \ge 0.
  • Não há outras restrições explícitas (por exemplo, raiz quadrada ou log), então o domínio será todo \mathbb{R}^{2} exceto onde o denominador anula.

Passo 2

Determinar o domínio: condição de validade.
O denominador não pode ser zero. Portanto o domínio D é formado pelos pares (x,y) tais que
9y^{2}-x^{2}\neq 0.
Resolver 9y^{2}-x^{2}=0
x^{2}=9y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 3y.
Logo esses dois conjuntos de pontos (duas retas passando pela origem) precisam ser excluídos do plano.
Conclusão descritiva para o domínio: o domínio é todo \mathbb{R}^{2} exceto as retas \,x=3y e \,x=-3y. Em notação:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq \pm 3y\}.

Passo 3

Esboço do domínio (como fazer na prova, passo a passo):
  • Desenhar os eixos x e y.
  • Traçar as retas que passam pela origem com inclinações correspondentes a x=3y e x=-3y; em forma mais usual escrevemos essas retas como x-3y=0 e x+3y=0. Essas são duas retas passando pela origem com coeficiente angular m=3 e m=-3 em forma x=my (ou, invertendo, y=\tfrac{1}{3}x e y=-\tfrac{1}{3}x se preferir usar y como função de x).
  • O domínio é todo o plano menos essas duas retas (ou seja, sombrear o plano e riscar as duas retas).
Observação útil: ao aproximar-se dessas retas o denominador se aproxima de zero e a função tende para \pm\infty (são assimptotas verticais no sentido de que a função explode perto delas).

Passo 4

Determinar a imagem: estratégia e manipulação algébrica.
Queremos encontrar todos os valores z\in\mathbb{R} tais que exista (x,y)\in D com
z=\frac{y^{2}}{9y^{2}-x^{2}}.
Para analisar isso, resolvemos a equação anterior em termos de x^{2} (é conveniente porque as equações envolvem apenas quadrados):
Multiplicando ambos os lados por 9y^{2}-x^{2} (válido quando estamos em D):
z(9y^{2}-x^{2})=y^{2}.
Rearranjando:
9z\,y^{2}-z x^{2}=y^{2}\quad\Longrightarrow\quad z x^{2}=y^{2}(9z-1).
Se z\neq 0 podemos escrever
x^{2}=y^{2}\,\frac{9z-1}{z}.
Para que exista algum x\in\mathbb{R} real com esse quadrado, o lado direito precisa ser \ge 0. Como y^{2}\ge 0, e se considerarmos pontos com y\neq 0 (caso y=0 será tratado separadamente), a condição reduz-se a
\frac{9z-1}{z}\ge 0.

Passo 5

Resolver a desigualdade \dfrac{9z-1}{z}\ge 0 e tratar casos especiais.
Fazer um quadro de sinais para a função \dfrac{9z-1}{z}. As singularidades/zeros ocorrem em z=0 e z=\tfrac{1}{9}.
  • Para z<0: o numerador 9z-1<0, o denominador z<0, então a razão é \ge 0 (é positiva).
  • Para 0<z<\tfrac{1}{9}: numerador 9z-1<0, denominador z>0, então a razão é <0.
  • Para z>\tfrac{1}{9}: numerador 9z-1>0, denominador z>0, então a razão é >0.
Além disso, tratar z=0 separadamente: se z=0 então a equação original 0=\dfrac{y^{2}}{9y^{2}-x^{2}} exige y^{2}=0, isto é y=0. Para y=0 e x\neq 0 o denominador é -x^{2}\neq 0, então f(x,0)=0 para todo x\neq 0. O ponto (0,0) não pertence ao domínio porque ali o denominador é zero. Portanto z=0 pertence à imagem (é atingido por pontos da forma (x,0) com x\neq 0).
Tratar z=\tfrac{1}{9}: quando z=\tfrac{1}{9} a expressão para x^{2} x^{2}=0. De fato, \,f(0,y)=\dfrac{y^{2}}{9y^{2}}=\tfrac{1}{9} para todo y\neq 0. Então z=\tfrac{1}{9} também é atingido (por pontos (0,y) com y\neq 0).
Combinar tudo: os z que satisfazem a desigualdade são z<0 e z\ge \tfrac{1}{9}; mais z=0 já está em z<0\cup\{0\} but we checked separately; union gives
\text{imagem}(f)=(-\infty,0]\cup\left[\tfrac{1}{9},+\infty\right).
Valores z com 0<z<\tfrac{1}{9} não ocorrem (não há (x,y)\in D que dêem esses valores).

Passo 6

Verificações rápidas por exemplos concretos (ajuda a fixar e a usar na prova):
  • Para y=0 e x\neq 0: \,f(x,0)=0. Assim 0 está na imagem.
  • Para x=0 e y\neq 0: \,f(0,y)=\dfrac{y^{2}}{9y^{2}}=\dfrac{1}{9}. Assim \tfrac{1}{9} está na imagem.
  • Para k> \tfrac{1}{9} por exemplo k=1: escolhe-se qualquer y\neq 0 e define-se x=\pm |y|\sqrt{9-\tfrac{1}{k}}=\pm |y|\sqrt{8} para obter f(x,y)=k.
  • Para k<0 por exemplo k=-1: escolhe-se y\neq 0 e define-se x=\pm |y|\sqrt{9-1/k}=\pm |y|\sqrt{10} para obter f(x,y)=k.
Esses cálculos confirmam a imagem encontrada.

Passo 7

Determinar as curvas de nível: equação geral.
Curva de nível para um valor constante k é o conjunto de pontos (x,y) tal que
\frac{y^{2}}{9y^{2}-x^{2}}=k.
Multiplicando e rearranjando (mesmos passos algébricos que fizemos antes):
y^{2}=k(9y^{2}-x^{2})\quad\Longrightarrow\quad kx^{2}+(1-9k)y^{2}=0.
Essa é uma equação quadrática homogênea de grau 2 que passa sempre pela origem (ou é vazia) — geometria típica: duas retas que se cruzam na origem, a reta y=0, a reta x=0, ou conjunto vazio, dependendo de k.

Passo 8

Classificação das curvas de nível conforme k.
  • Caso k=0: a equação reduz-se a
    (1-0)y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.
    Portanto a curva de nível k=0 é o eixo x (linha y=0), exceto o ponto (0,0) que não pertence ao domínio. Na prática é o eixo x retirando a origem.
  • Caso k=\tfrac{1}{9}: substituir em kx^{2}+(1-9k)y^{2}=0
    \tfrac{1}{9}x^{2}+(1-1)y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{9}x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
    Portanto a curva de nível k=\tfrac{1}{9} é o eixo y (reta x=0), exceto o ponto (0,0) que não pertence ao domínio.
  • Caso k\neq 0 e k\neq \tfrac{1}{9}: dividir por k e obter
    x^{2}+\left(\frac{1-9k}{k}\right)y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\left(9-\frac{1}{k}\right)y^{2}.
    Portanto, quando o fator no parêntese é \ge 0, as curvas de nível são duas retas passando pela origem:
    x=\pm m_{k}\,y,\qquad m_{k}=\sqrt{9-\frac{1}{k}}.
    A existência real de m_{k} exige 9-\dfrac{1}{k}\ge 0, que é exatamente a condição que decorre da análise da imagem: isto é satisfeita para k\le 0 e para k\ge \tfrac{1}{9}. Para 0<k<\tfrac{1}{9} o termo dentro da raiz é negativo e não existem pontos reais (curva de nível vazia) — condizente com o fato de esses k não estarem na imagem.
Resumo das formas geométricas:
  • k<0: duas retas x=\pm m_{k}y com m_{k}=\sqrt{9-\tfrac{1}{k}}>3.
  • k=0: reta y=0 (eixo x, sem a origem).
  • 0<k<\tfrac{1}{9}: nenhuma curva (vazio).
  • k=\tfrac{1}{9}: reta x=0 (eixo y, sem a origem).
  • k>\tfrac{1}{9}: duas retas x=\pm m_{k}y com 0\le m_{k}=\sqrt{9-\tfrac{1}{k}}<3 (quando k\to+\infty, m_{k}\to 3; quando k\to \tfrac{1}{9}^+, m_{k}\to 0).

Passo 9

Exemplos concretos de curvas de nível e instruções de esboço (pelo menos três curvas):
Escolho três valores representativos k=-1, k=0 e k=1 (todos pertencentes à imagem), e também comento k=\tfrac{1}{9}.
  1. Para k=-1:
m_{-1}=\sqrt{9-\frac{1}{-1}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\approx 3{,}162.
Curvas de nível: x=\pm\sqrt{10}\,y. São duas retas passando pela origem, mais inclinadas que as retas excluídas x=\pm 3y (porque \sqrt{10}>3). Desenhar duas linhas através da origem com essas inclinações.
  1. Para k=0:
    Curva de nível: y=0. Desenhar o eixo x (retirar o ponto (0,0)).
  2. Para k=1:
m_{1}=\sqrt{9-\frac{1}{1}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828.
Curvas de nível: x=\pm 2\sqrt{2}\,y. São duas retas passando pela origem com inclinações menores que 3.
  1. Para k=\tfrac{1}{9} (caso especial):
    Curva de nível: x=0. Desenhar o eixo y (retirar o ponto (0,0)).
Instruções de esboço conjunto:
  • Traçar o eixo x (nível k=0) e o eixo y (nível k=\tfrac{1}{9}).
  • Traçar as retas x=\pm 2\sqrt{2}\,y (nível k=1) e x=\pm\sqrt{10}\,y (nível k=-1).
  • Lembrar de riscar/indicar as retas excluídas x=\pm 3y (domínio) — são onde a função explode e separam regiões onde a função muda de sinal/valor.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq \pm 3y\}.
(b) \operatorname{Im}(f)=(-\infty,0]\cup\left[\tfrac{1}{9},+\infty\right).
(c) Curvas de nível: para cada k tal que k\le 0 ou k\ge \tfrac{1}{9} tem-se
kx^{2}+(1-9k)y^{2}=0,
ou, quando k\neq 0,\tfrac{1}{9},
x=\pm\sqrt{9-\frac{1}{k}}\,y.
Exemplos: para k=-1 as curvas são x=\pm\sqrt{10}\,y; para k=0 a curva é y=0; para k=1 as curvas são x=\pm 2\sqrt{2}\,y; para k=\tfrac{1}{9} a curva é x=0.

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