Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} \cos (x+y)}{x^{2}+y^{2}} & , \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & , \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.
e pede para verificar se f é contínua no ponto P=(0,0).
Informações relevantes fornecidas:
A expressão de f para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{2}\cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}}.
O valor atribuído no ponto P é f(0,0)=1.
A pergunta é única: verificar continuidade de f em P=(0,0).]
Passo 2
Lembra do que significa “contínua em P”? Vou explicar de forma prática e sem formalidade pesada: f é contínua em P quando o limite de f(x,y) quando (x,y)\to P existe e é igual ao valor f(P). Em símbolos:
f \text{ contínua em }P \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to P} f(x,y)=f(P).í
Uma maneira eficiente de testar se o limite existe numa função de duas variáveis é observar valores ao longo de caminhos diferentes que se aproximam de P. Se encontrar dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe, e portanto a função não é contínua em P.
Passo 3
Vamos tentar computar o limite ao aproximar (x,y) de (0,0) por caminhos simples: retas que passam pela origem. Considere uma reta qualquer y=mx com constante m\in\mathbb{R}. Substituímos na expressão de f para (x,y)\neq(0,0).
Substituindo y=mx em \dfrac{x^{2}\cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}} obtemos
Agora o passo clássico: faça x\to0. A função \cos é contínua, então \cos\big((1+m)x\big)\to\cos(0)=1. Portanto, para qualquer m,
\lim_{x\to0} f(x,mx)=\frac{1}{1+m^{2}}.
Passo 4
Isto já é interessante: o valor limite ao longo da reta y=mx depende de m. Por exemplo:
Para m=0 (ou seja, aproximando pela reta y=0) obtemos \lim = \dfrac{1}{1+0^{2}}=1.
Para m=1 (reta y=x) obtemos \lim = \dfrac{1}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}.
Como esses dois valores são diferentes (1 e \tfrac{1}{2}), concluímos que os limites ao longo de caminhos distintos que chegam a (0,0) não coincidem.
Se limites ao longo de caminhos diferentes são distintos, o limite geral \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) NÃO existe. Pelo critério de continuidade, como o limite não existe, f não pode ser contínua em P=(0,0). Observação: mesmo que ao longo da reta y=0 o valor do limite seja exatamente f(0,0)=1, isso não basta — é preciso que todos os caminhos deem o mesmo limite, e aqui não é o caso.