Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} \cos (x+y)}{x^{2}+y^{2}} & , \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & , \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}\cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto P=(0,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{2}\cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}}.
  • O valor atribuído no ponto P é f(0,0)=1.
  • A pergunta é única: verificar continuidade de f em P=(0,0).]

Passo 2

Lembra do que significa “contínua em P”? Vou explicar de forma prática e sem formalidade pesada: f é contínua em P quando o limite de f(x,y) quando (x,y)\to P existe e é igual ao valor f(P). Em símbolos:
f \text{ contínua em }P \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to P} f(x,y)=f(P).í
Uma maneira eficiente de testar se o limite existe numa função de duas variáveis é observar valores ao longo de caminhos diferentes que se aproximam de P. Se encontrar dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite total não existe, e portanto a função não é contínua em P.

Passo 3

Vamos tentar computar o limite ao aproximar (x,y) de (0,0) por caminhos simples: retas que passam pela origem. Considere uma reta qualquer y=mx com constante m\in\mathbb{R}. Substituímos na expressão de f para (x,y)\neq(0,0).
Substituindo y=mx em \dfrac{x^{2}\cos(x+y)}{x^{2}+y^{2}} obtemos
f(x,mx)=\frac{x^{2}\cos(x+mx)}{x^{2}+(mx)^{2}} =\frac{x^{2}\cos\big((1+m)x\big)}{x^{2}\big(1+m^{2}\big)} =\frac{\cos\big((1+m)x\big)}{1+m^{2}}.
Agora o passo clássico: faça x\to0. A função \cos é contínua, então \cos\big((1+m)x\big)\to\cos(0)=1. Portanto, para qualquer m,
\lim_{x\to0} f(x,mx)=\frac{1}{1+m^{2}}.

Passo 4

Isto já é interessante: o valor limite ao longo da reta y=mx depende de m. Por exemplo:
  • Para m=0 (ou seja, aproximando pela reta y=0) obtemos \lim = \dfrac{1}{1+0^{2}}=1.
  • Para m=1 (reta y=x) obtemos \lim = \dfrac{1}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}.
Como esses dois valores são diferentes ( 1 e \tfrac{1}{2}), concluímos que os limites ao longo de caminhos distintos que chegam a (0,0) não coincidem.
Se limites ao longo de caminhos diferentes são distintos, o limite geral \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) NÃO existe. Pelo critério de continuidade, como o limite não existe, f não pode ser contínua em P=(0,0). Observação: mesmo que ao longo da reta y=0 o valor do limite seja exatamente f(0,0)=1, isso não basta — é preciso que todos os caminhos deem o mesmo limite, e aqui não é o caso.

Resposta

Não — f não é contínua em P=(0,0).

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