Calcule as derivadas parciais de f(x, y)=\int_{y}^{\sqrt{x}} \operatorname{cosh} (\operatorname{sen} t) d t.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\int_{y}^{\sqrt{x}} \operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen} t\big)\,dt
e pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes:
  • O integrando é g(t)=\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen} t\big).
  • O limite superior da integral é \sqrt{x} (portanto é necessário x\ge 0 para que \sqrt{x} esteja real).
  • O limite inferior é y (assume-se y\in\mathbb{R}).
  • A função pedida tem dependência de x e y apenas via os limites de integração.

Passo 2

Ideia do método (sem ainda calcular): usar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.
Pequena explicação didática e intuitiva:
  • Se G(s)=\int_{s_0}^{s} g(t)\,dt para algum s_0 fixo, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que G'(s)=g(s). Ou seja, derivar uma integral em relação ao próprio limite de integração devolve o integrando avaliado nesse limite.
  • Se o limite de integração é uma função de x (por exemplo s(x)), então pela Regra da Cadeia a derivada de G(s(x)) em relação a x é G'(s(x))\cdot s'(x)=g(s(x))\cdot s'(x).
  • Se a integral tem um limite inferior que depende de y, por exemplo y, então derivar em relação a y introduz um sinal negativo: \dfrac{d}{dy}\int_{y}^{b} g(t)\,dt=-g(y), porque a integral é igual a G(b)-G(y).

Passo 3

Aplicando a ideia acima ao nosso caso: defina uma primitiva conveniente
F(s)=\int_{0}^{s}\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen} t\big)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
F'(s)=\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen} s\big).
Reescrevendo f em termos de F obtemos
f(x,y)=F\big(\sqrt{x}\big)-F(y).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Passo a passo:
  • Trate y como constante.
  • Diferencie f(x,y)=F(\sqrt{x})-F(y) em relação a x. O termo -F(y) é constante em x e some.
  • Use a Regra da Cadeia: primeiro derivada de F em \sqrt{x} é F'(\sqrt{x}); depois multiplica-se pela derivada de \sqrt{x} em relação a x, que é \dfrac{1}{2\sqrt{x}} (válida para x>0).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=F'\big(\sqrt{x}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Substituindo F' por \operatorname{cosh}(\operatorname{sen}(\cdot)) resulta
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen}(\sqrt{x})\big), \quad \text{para } x>0.
(Observação: a fórmula requer x>0. Em x=0 pode-se analisar a derivada lateral direita separadamente, se necessário.)

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Passo a passo:
  • Trate x como constante.
  • Use que f(x,y)=F(\sqrt{x})-F(y). A derivada de F(\sqrt{x}) em relação a y é zero (é constante), e a derivada de -F(y) é -F'(y).
  • Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, F'(y)=\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen} y\big).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-F'(y)=-\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen} y\big).

Passo 6

Resumo e comentário final (didático): a regra prática é lembrar que ao derivar uma integral em que os limites dependem das variáveis, cada limite contribui com o integrando avaliado naquele limite multiplicado pela derivada do próprio limite; limite superior contribui com sinal positivo, limite inferior com sinal negativo. Aqui o integrando não depende de x nem de y diretamente, então não há termo adicional vindo da derivação do integrando.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen}(\sqrt{x})\big)
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\operatorname{cosh}\big(\operatorname{sen} y\big)

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