Calcule as derivadas parciais de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes:
- O integrando é
. - O limite superior da integral é
(portanto é necessário para que esteja real). - O limite inferior é
(assume-se ). - A função pedida tem dependência de
e apenas via os limites de integração.
Passo 2
Ideia do método (sem ainda calcular): usar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.
Pequena explicação didática e intuitiva:
- Se
para algum fixo, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que . Ou seja, derivar uma integral em relação ao próprio limite de integração devolve o integrando avaliado nesse limite. - Se o limite de integração é uma função de
(por exemplo ), então pela Regra da Cadeia a derivada de em relação a é . - Se a integral tem um limite inferior que depende de
, por exemplo , então derivar em relação a introduz um sinal negativo: , porque a integral é igual a .
Passo 3
Aplicando a ideia acima ao nosso caso: defina uma primitiva conveniente
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
Reescrevendo
em termos de
obtemos
Passo 4
Cálculo de
.
Passo a passo:
- Trate
como constante. - Diferencie
em relação a . O termo é constante em e some. - Use a Regra da Cadeia: primeiro derivada de
em é ; depois multiplica-se pela derivada de em relação a , que é (válida para ).
Portanto
Substituindo
por
resulta
(Observação: a fórmula requer
. Em
pode-se analisar a derivada lateral direita separadamente, se necessário.)
Passo 5
Cálculo de
.
Passo a passo:
- Trate
como constante. - Use que
. A derivada de em relação a é zero (é constante), e a derivada de é . - Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo,
.
Portanto
Passo 6
Resumo e comentário final (didático): a regra prática é lembrar que ao derivar uma integral em que os limites dependem das variáveis, cada limite contribui com o integrando avaliado naquele limite multiplicado pela derivada do próprio limite; limite superior contribui com sinal positivo, limite inferior com sinal negativo. Aqui o integrando não depende de
nem de
diretamente, então não há termo adicional vindo da derivação do integrando.