dentifique as equações do tipo Bernoulli e resolva-as.
x d y-\left(y+x y^{3}(1+\ln x)\right) d x=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\,dy-\bigl(y+x y^{3}(1+\ln x)\bigr)\,dx=0.
O que se pede:
  • identificar se a equação é do tipo Bernoulli;
  • resolver a equação (encontrar a solução geral).
Informações dadas extraídas do enunciado:
  • a equação envolve as variáveis x e y;
  • há termos y e y^{3} acoplados a x e a dx;
  • não há outras condições iniciais fornecidas (só se busca a solução geral).

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão dy/dx + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n} para verificar se é Bernoulli e identificar P, Q e n.
Parto da equação dada e divido por dx e por x (supondo x\neq0):
x\frac{dy}{dx}=y+x y^{3}(1+\ln x).
Dividindo por x:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+y^{3}(1+\ln x).
Reescrevo colocando todos os termos do lado esquerdo:
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=(1+\ln x)\,y^{3}.
Comparando com a forma de Bernoulli \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n} obtemos:
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=1+\ln x,\qquad n=3.
Como n\neq0,1, isto é uma equação de Bernoulli. Explico rapidamente a ideia: a equação de Bernoulli é não linear por causa do termo y^{n}, mas torna-se linear após a substituição
z=y^{1-n}.
Aqui 1-n=1-3=-2, então a substituição natural é z=y^{-2}. Vou aplicar essa transformação no próximo passo.

Passo 3

Fazer a substituição z=y^{-2} e obter a equação linear para z.
Calculo a derivada de z em função de x. Lembre que z=y^{-2}, então usando a regra da cadeia:
\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr)=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}.
Isolo \dfrac{dy}{dx} a partir da expressão acima:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}y^{3}\frac{dz}{dx}.
Mas é mais direto usar a fórmula padrão para Bernoulli: com z=y^{1-n} vale
\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)\,z=(1-n)Q(x).
Substituindo n=3 e P(x)=-\dfrac{1}{x}, Q(x)=1+\ln x:
\frac{dz}{dx}+(-2)\left(-\frac{1}{x}\right)z=-2(1+\ln x).
Simplificando o coeficiente de z:
\frac{dz}{dx}+\frac{2}{x}z=-2(1+\ln x).
Portanto obtivemos uma equação linear de primeira ordem em z.

Passo 4

Resolver a equação linear
\frac{dz}{dx}+\frac{2}{x}z=-2(1+\ln x).
Método: fator integrante. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\bigl(2\ln x\bigr)=x^{2},
assumindo x>0 para evitar problemas com \ln x (mais abaixo comento domínios).
Multiplicando a equação por x^{2}:
x^{2}\frac{dz}{dx}+2x z = -2x^{2}(1+\ln x).
O lado esquerdo é a derivada do produto x^{2}z:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}z\bigr) = -2x^{2}(1+\ln x).
Integro ambos os lados em relação a x:
x^{2}z=\int -2x^{2}(1+\ln x)\,dx + C,
onde C é constante de integração.
Agora integro o termo à direita passo a passo. Primeiro separo:
\int -2x^{2}(1+\ln x)\,dx = \int -2x^{2}\,dx + \int -2x^{2}\ln x\,dx.
Calculo cada integral:
  1. \displaystyle \int -2x^{2}\,dx = -\frac{2}{3}x^{3}.
  2. \displaystyle \int x^{2}\ln x\,dx faço por partes: tomo u=\ln x e dv=x^{2}dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=\dfrac{x^{3}}{3}. Assim
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9}.
Multiplicando por -2:
\int -2x^{2}\ln x\,dx = -\frac{2x^{3}}{3}\ln x + \frac{2x^{3}}{9}.
Somando os dois resultados:
\int -2x^{2}(1+\ln x)\,dx = -\frac{2}{3}x^{3} -\frac{2x^{3}}{3}\ln x + \frac{2x^{3}}{9}.
Agrupando os termos sem \ln x:
-\frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{9}x^{3} = \left(-\frac{6}{9}+\frac{2}{9}\right)x^{3} = -\frac{4}{9}x^{3}.
Portanto
\int -2x^{2}(1+\ln x)\,dx = -\frac{2}{3}x^{3}\ln x -\frac{4}{9}x^{3}.
Voltando à expressão para x^{2}z:
x^{2}z = -\frac{2}{3}x^{3}\ln x -\frac{4}{9}x^{3} + C.
Dividindo por x^{2} (novamente x\neq0):
z = -\frac{2}{3}x\ln x -\frac{4}{9}x + Cx^{-2}.

Passo 5

Voltar à variável original y. Lembre que z=y^{-2}, então
y^{-2} = -\frac{2}{3}x\ln x -\frac{4}{9}x + Cx^{-2}.
Inverto para obter y. A solução geral implícita é
y^{2} = \frac{1}{-\dfrac{2}{3}x\ln x -\dfrac{4}{9}x + Cx^{-2}}.
Tomando a raiz quadrada (duas possibilidades de sinal), a solução explícita é
y(x)=\pm\left(-\frac{2}{3}x\ln x -\frac{4}{9}x + Cx^{-2}\right)^{-1/2},
onde C é constante arbitrária de integração.
Observações sobre domínio e consistência:
  • Usamos \ln x, então normalmente consideramos x>0 (poderia trabalhar com x<0 introduzindo \ln|x| e ajustando sinais, mas segui a escolha x>0 para simplicidade).
  • A expressão sob a raiz deve ser positiva para y real; casos em que o denominador é zero ou negativo correspondem a soluções não reais ou singularidades da solução. Essas restrições dependem do valor da constante C.

Resposta

y(x)=\pm\left(-\frac{2}{3}x\ln x -\frac{4}{9}x + Cx^{-2}\right)^{-1/2},\qquad C\in\mathbb{R}.

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