dentifique as equações do tipo Bernoulli e resolva-as.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede:
- identificar se a equação é do tipo Bernoulli;
- resolver a equação (encontrar a solução geral).
Informações dadas extraídas do enunciado:
- a equação envolve as variáveis
e ; - há termos
e acoplados a e a ; - não há outras condições iniciais fornecidas (só se busca a solução geral).
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão
para verificar se é Bernoulli e identificar
,
e
.
Parto da equação dada e divido por
e por
(supondo
):
Dividindo por
:
Reescrevo colocando todos os termos do lado esquerdo:
Comparando com a forma de Bernoulli
obtemos:
Como
, isto é uma equação de Bernoulli. Explico rapidamente a ideia: a equação de Bernoulli é não linear por causa do termo
, mas torna-se linear após a substituição
Aqui
, então a substituição natural é
. Vou aplicar essa transformação no próximo passo.
Passo 3
Fazer a substituição
e obter a equação linear para
.
Calculo a derivada de
em função de
. Lembre que
, então usando a regra da cadeia:
Isolo
a partir da expressão acima:
Mas é mais direto usar a fórmula padrão para Bernoulli: com
vale
Substituindo
e
,
:
Simplificando o coeficiente de
:
Portanto obtivemos uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Resolver a equação linear
Método: fator integrante. O fator integrante
é
assumindo
para evitar problemas com
(mais abaixo comento domínios).
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Agora integro o termo à direita passo a passo. Primeiro separo:
Calculo cada integral:
-
-
faço por partes: tomo e . Então e . Assim
Multiplicando por
:
Somando os dois resultados:
Agrupando os termos sem
:
Portanto
Voltando à expressão para
:
Dividindo por
(novamente
):
Passo 5
Voltar à variável original
. Lembre que
, então
Inverto para obter
. A solução geral implícita é
Tomando a raiz quadrada (duas possibilidades de sinal), a solução explícita é
onde
é constante arbitrária de integração.
Observações sobre domínio e consistência:
- Usamos
, então normalmente consideramos (poderia trabalhar com introduzindo e ajustando sinais, mas segui a escolha para simplicidade). - A expressão sob a raiz deve ser positiva para
real; casos em que o denominador é zero ou negativo correspondem a soluções não reais ou singularidades da solução. Essas restrições dependem do valor da constante .