Seja D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}. Analise a seguinte afirmação e determine se ela é verdadeira ou falsa: "As derivadas parciais da funçāo f: D \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x, y)=x^{2}+y^{2} podem ser calculadas em todos os pontos de seu domínio. além disso, f_{x}(x, y)=2 x e f_{y}(x, y)=2 y ".

Passo 1

O enunciado dá:
  • O conjunto D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 1\} (o disco fechado de raio 1).
  • A função f:D\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
    O que se pede:
  • Analisar se a afirmação é verdadeira ou falsa: “As derivadas parciais de f podem ser calculadas em todos os pontos de D. Além disso, f_{x}(x,y)=2x e f_{y}(x,y)=2y.”
    Informações relevantes que o enunciado fornece e que usaremos:
  • A fórmula explícita de f.
  • O domínio D inclui tanto pontos interiores ao disco quanto pontos na fronteira x^{2}+y^{2}=1.
  • Devemos cuidar do conceito de derivada parcial quando a função é definida em um conjunto que não é aberto (fronteira pode exigir atenção).

Passo 2

Definição precisa de derivada parcial (quando a função está definida num subconjunto de \mathbb{R}^{2}):
  • Para um ponto fixo (x,y)\in D, a derivada parcial de f em relação a x é, por definição,
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0,\; (x+h,y)\in D}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
desde que esse limite exista.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\lim_{k\to 0,\; (x,y+k)\in D}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
desde que esse limite exista.
Explicação didática:
  • Aqui h e k são incrementos escalares que tendem a 0. A notação (x+h,y)\in D lembra que só podemos considerar incrementos que mantenham o ponto dentro do domínio definido.
  • Se o domínio fosse aberto, a condição (x+h,y)\in D é automaticamente satisfeita para h suficientemente pequeno (tanto positivos quanto negativos). Como D é fechado, para pontos na fronteira pode ocorrer que, por exemplo, apenas um dos sinais de h mantenha o ponto no domínio; então a definição usa os h válidos.

Passo 3

Cálculo direto da derivada parcial em x usando a definição (álgebra simples):
  • Começamos com a diferença:
f(x+h,y)-f(x,y)=(x+h)^{2}+y^{2}-(x^{2}+y^{2}).
  • Desenvolvendo o quadrado:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
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f(x+h,y)-f(x,y)=2xh+h^{2}.
  • Dividindo por h (para h\neq 0):
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=2x+h.
  • Agora tomamos o limite quando h\to 0 (considerando apenas os h tais que (x+h,y)\in D):
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0,\; (x+h,y)\in D}(2x+h)=2x.
Comentário didático: a expressão intermediária 2x+h não depende de propriedades complicadas de D; portanto, sempre que pudermos aproximar h por valores tendendo a 0 dentro do domínio, o limite será 2x.

Passo 4

Cálculo direto da derivada parcial em y (mesmo procedimento):
  • Diferença:
f(x,y+k)-f(x,y)=x^{2}+(y+k)^{2}-(x^{2}+y^{2})=2yk+k^{2}.
  • Dividindo por k (para k\neq 0):
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=2y+k.
  • Tomando o limite quando k\to 0 (com (x,y+k)\in D):
f_y(x,y)=\lim_{k\to 0,\; (x,y+k)\in D}(2y+k)=2y.

Passo 5

Tratamento da sutileza da fronteira de D:
  • Para pontos interiores de D (onde x^{2}+y^{2}<1) existem h e k suficientemente pequenos de ambos os sinais que mantêm (x+h,y) e (x,y+k) em D; a definição usual de derivada parcial de dois lados é válida e obtém-se 2x e 2y.
  • Para pontos na fronteira ( x^{2}+y^{2}=1) pode acontecer que, por exemplo, para alguns sinais de h o ponto (x+h,y) saia de D. Mesmo assim, a expressão para a diferença quociente já foi reduzida a 2x+h. Se apenas h\to 0 através de valores negativos (por exemplo) forem permitidos, a passagem ao limite ainda dá 2x, porque
\lim_{h\to 0^-}(2x+h)=2x.
  • Portanto, não há problema: a existência do limite exigido pela definição (considerando somente os incrementos permitidos pelo domínio) é garantida e o valor é 2x (analogamente para 2y).

Passo 6

Justificativa alternativa e mais conceitual (teorema usado frequentemente em prova):
  • A função f(x,y)=x^{2}+y^{2} é um polinômio em x,y. Polinômios são funções infinitamente diferenciáveis em todo \mathbb{R}^{2} (ou seja, C^{\infty}).
  • Assim, considerando f estendida a \mathbb{R}^{2}, as derivadas parciais existem em todo \mathbb{R}^{2} e são dadas por 2x e 2y.
  • Como D\subset\mathbb{R}^{2} e f na verdade coincide com essa extensão polinomial em D, as derivadas parciais existem em todos os pontos de D e têm as fórmulas indicadas.

Passo 7

Conclusão final e comentário de incentivo:
  • A afirmação é correta: as derivadas parciais existem em todos os pontos de D e são dadas por f_x(x,y)=2x e f_y(x,y)=2y.
  • Observação prática para prova: pode-se justificar diretamente com a definição de limite (como fizemos) ou invocar que polinômios são C^{1} (ou C^\infty) em \mathbb{R}^2, o que é curto e seguro quando permitido.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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