Seja
. Analise a seguinte afirmação e determine se ela é verdadeira ou falsa: "As derivadas parciais da funçāo
dada por
podem ser calculadas em todos os pontos de seu domínio. além disso,
e
".
Passo 1
O enunciado dá:
- O conjunto
(o disco fechado de raio ). - A função
dada por .
O que se pede: - Analisar se a afirmação é verdadeira ou falsa: “As derivadas parciais de
podem ser calculadas em todos os pontos de . Além disso, e .”
Informações relevantes que o enunciado fornece e que usaremos: - A fórmula explícita de
. - O domínio
inclui tanto pontos interiores ao disco quanto pontos na fronteira . - Devemos cuidar do conceito de derivada parcial quando a função é definida em um conjunto que não é aberto (fronteira pode exigir atenção).
Passo 2
Definição precisa de derivada parcial (quando a função está definida num subconjunto de
):
- Para um ponto fixo
, a derivada parcial de em relação a é, por definição,
desde que esse limite exista.
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
desde que esse limite exista.
Explicação didática:
Explicação didática:
- Aqui
e são incrementos escalares que tendem a . A notação lembra que só podemos considerar incrementos que mantenham o ponto dentro do domínio definido. - Se o domínio fosse aberto, a condição
é automaticamente satisfeita para suficientemente pequeno (tanto positivos quanto negativos). Como é fechado, para pontos na fronteira pode ocorrer que, por exemplo, apenas um dos sinais de mantenha o ponto no domínio; então a definição usa os válidos.
Passo 3
Cálculo direto da derivada parcial em
usando a definição (álgebra simples):
- Começamos com a diferença:
- Desenvolvendo o quadrado:
logo
- Dividindo por
(para ):
- Agora tomamos o limite quando
(considerando apenas os tais que ):
Comentário didático: a expressão intermediária
não depende de propriedades complicadas de
; portanto, sempre que pudermos aproximar
por valores tendendo a
dentro do domínio, o limite será
.
Passo 4
Cálculo direto da derivada parcial em
(mesmo procedimento):
- Diferença:
- Dividindo por
(para ):
- Tomando o limite quando
(com ):
Passo 5
Tratamento da sutileza da fronteira de
:
- Para pontos interiores de
(onde ) existem e suficientemente pequenos de ambos os sinais que mantêm e em ; a definição usual de derivada parcial de dois lados é válida e obtém-se e . - Para pontos na fronteira (
) pode acontecer que, por exemplo, para alguns sinais de o ponto saia de . Mesmo assim, a expressão para a diferença quociente já foi reduzida a . Se apenas através de valores negativos (por exemplo) forem permitidos, a passagem ao limite ainda dá , porque
- Portanto, não há problema: a existência do limite exigido pela definição (considerando somente os incrementos permitidos pelo domínio) é garantida e o valor é
(analogamente para ).
Passo 6
Justificativa alternativa e mais conceitual (teorema usado frequentemente em prova):
- A função
é um polinômio em . Polinômios são funções infinitamente diferenciáveis em todo (ou seja, ). - Assim, considerando
estendida a , as derivadas parciais existem em todo e são dadas por e . - Como
e na verdade coincide com essa extensão polinomial em , as derivadas parciais existem em todos os pontos de e têm as fórmulas indicadas.
Passo 7
Conclusão final e comentário de incentivo:
- A afirmação é correta: as derivadas parciais existem em todos os pontos de
e são dadas por e . - Observação prática para prova: pode-se justificar diretamente com a definição de limite (como fizemos) ou invocar que polinômios são
(ou ) em , o que é curto e seguro quando permitido.
Resposta
A afirmação é verdadeira.