Escreva as definições das derivadas parciais,
e
, da função
calculadas em um ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva as definições das derivadas parciais
e
da função
calculadas no ponto
.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Há uma função
de duas variáveis e . - Querem as definições de
e , isto é, as derivadas parciais avaliadas no ponto .
Passo 2
O que é a derivada parcial em
?
Intuitivamente, mede a taxa de variação de
quando eu mudo só a variável
, mantendo
fixo em
. Para formalizar isso usamos o quociente incremental em que apenas
varia: se
é um pequeno incremento em
, consideramos a diferença
e dividimos por
. A derivada parcial é o limite dessa razão quando
tende a zero (se esse limite existir). A definição em fórmulas é:
Intuitivamente,
Explicando cada símbolo:
-
é a função dada; significa avaliar no ponto com coordenada e . -
é um número real que tende a . - O limite só faz sentido se, para
suficientemente pequeno (positivos e negativos), os pontos estiverem no domínio de . - Se esse limite existe como número finito, dizemos que
existe e é igual a esse número.
Passo 3
Analogamente, a derivada parcial em
mede a taxa de variação de
quando eu mudo só
, mantendo
fixo em
. Usando um pequeno incremento
em
:
Explicação dos símbolos:
-
é um número real que tende a . -
é a avaliação de em e . - Novamente, o limite só existe se
estiver no domínio de para próximos de zero. Se o limite existir, dizemos que existe.
Passo 4
Interpretações e observações importantes (úteis na prova):
- Outra notação comum é
e . - Geometricamente,
é a inclinação da reta tangente à curva obtida cortando a superfície com o plano . De modo análogo, é a inclinação da reta tangente à curva obtida cortando com o plano . - Na prática de prova: quando
é dada por uma expressão algébrica simples (polinômio, soma de potências, produtos, compostas com funções usuais), em vez de recalcular o limite cada vez, pode-se derivar em tratando como constante (para obter ) e derivar em tratando como constante (para obter ). Isso está de acordo com as definições por limite. - A existência de
e não garante automaticamente que seja diferenciável em ; diferenciabilidade é uma propriedade mais forte. Mas para a maioria dos exercícios de prova, basta aplicar as definições ou as regras usuais de derivação parcial.
Passo 5
Exemplo concreto e passo a passo (para fixar a ideia): seja
. Vou calcular
e
pela definição de limite.
Cálculo de :
Cálculo de
Cálculo de
:
Nesse exemplo os limites existem e os resultados coincidem com o que obteríamos aplicando as regras usuais de derivação tratando a outra variável como constante.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (amigo te apoiando):
- Se a função for uma expressão algébrica conhecida, trate a outra variável como constante e calcule a derivada normalmente — isso economiza tempo.
- Se houver indeterminação por algum motivo, volte à definição de limite e faça a simplificação algébrica como no exemplo.
- Sempre verifique (mentalmente) que os pontos necessários
e estão no domínio de para pequenos.