Escreva as definições das derivadas parciais, f_{x} e f_{y}, da função z=f(x, y) calculadas em um ponto (a, b).

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva as definições das derivadas parciais f_x e f_y da função z=f(x,y) calculadas no ponto (a,b).
Informações dadas (explicitadas):
  • Há uma função f de duas variáveis x e y.
  • Querem as definições de \,f_x(a,b)\, e \,f_y(a,b)\,, isto é, as derivadas parciais avaliadas no ponto (a,b).

Passo 2

O que é a derivada parcial em x?
Intuitivamente, \,f_x(a,b)\, mede a taxa de variação de f quando eu mudo só a variável x, mantendo y fixo em b. Para formalizar isso usamos o quociente incremental em que apenas x varia: se h é um pequeno incremento em x, consideramos a diferença \,f(a+h,b)-f(a,b)\, e dividimos por h. A derivada parcial é o limite dessa razão quando h tende a zero (se esse limite existir). A definição em fórmulas é:
f_x(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}.
Explicando cada símbolo:
  • f é a função dada; f(a+h,b) significa avaliar f no ponto com coordenada x=a+h e y=b.
  • h é um número real que tende a 0.
  • O limite só faz sentido se, para h suficientemente pequeno (positivos e negativos), os pontos (a+h,b) estiverem no domínio de f.
  • Se esse limite existe como número finito, dizemos que \,f_x(a,b)\, existe e é igual a esse número.

Passo 3

Analogamente, a derivada parcial em y mede a taxa de variação de f quando eu mudo só y, mantendo x fixo em a. Usando um pequeno incremento k em y:
f_y(a,b)=\lim_{k\to 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}.
Explicação dos símbolos:
  • k é um número real que tende a 0.
  • f(a,b+k) é a avaliação de f em x=a e y=b+k.
  • Novamente, o limite só existe se (a,b+k) estiver no domínio de f para k próximos de zero. Se o limite existir, dizemos que \,f_y(a,b)\, existe.

Passo 4

Interpretações e observações importantes (úteis na prova):
  • Outra notação comum é \displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.
  • Geometricamente, f_x(a,b) é a inclinação da reta tangente à curva obtida cortando a superfície z=f(x,y) com o plano y=b. De modo análogo, f_y(a,b) é a inclinação da reta tangente à curva obtida cortando com o plano x=a.
  • Na prática de prova: quando f é dada por uma expressão algébrica simples (polinômio, soma de potências, produtos, compostas com funções usuais), em vez de recalcular o limite cada vez, pode-se derivar em x tratando y como constante (para obter f_x) e derivar em y tratando x como constante (para obter f_y). Isso está de acordo com as definições por limite.
  • A existência de \,f_x(a,b)\, e \,f_y(a,b)\, não garante automaticamente que f seja diferenciável em (a,b); diferenciabilidade é uma propriedade mais forte. Mas para a maioria dos exercícios de prova, basta aplicar as definições ou as regras usuais de derivação parcial.

Passo 5

Exemplo concreto e passo a passo (para fixar a ideia): seja f(x,y)=x^{2}+y^{3}. Vou calcular \,f_x(a,b)\, e \,f_y(a,b)\, pela definição de limite.
Cálculo de \,f_x(a,b)\,:
f_x(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^{2}+b^{3}-(a^{2}+b^{3})}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{a^{2}+2ah+h^{2}+b^{3}-a^{2}-b^{3}}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{2ah+h^{2}}{h} =\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a.
Cálculo de \,f_y(a,b)\,:
f_y(a,b)=\lim_{k\to 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k} =\lim_{k\to 0}\frac{a^{2}+(b+k)^{3}-(a^{2}+b^{3})}{k} =\lim_{k\to 0}\frac{3b^{2}k+3bk^{2}+k^{3}}{k} =\lim_{k\to 0}(3b^{2}+3bk+k^{2})=3b^{2}.
Nesse exemplo os limites existem e os resultados coincidem com o que obteríamos aplicando as regras usuais de derivação tratando a outra variável como constante.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (amigo te apoiando):
  • Se a função for uma expressão algébrica conhecida, trate a outra variável como constante e calcule a derivada normalmente — isso economiza tempo.
  • Se houver indeterminação por algum motivo, volte à definição de limite e faça a simplificação algébrica como no exemplo.
  • Sempre verifique (mentalmente) que os pontos necessários (a+h,b) e (a,b+k) estão no domínio de f para h,k pequenos.

Resposta

f_x(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}
f_y(a,b)=\lim_{k\to 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}

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