Calcule as derivadas parciais
f(x, y)=2 x^3+y^2x^2+y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \frac{2x^{3} + y{2}}{x{2} + y^{2}} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Nesse caso, tratamos $ y $ como uma constante.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para derivadas parciais. Se $ f(x,y) = \frac{u(x,y)}{v(x,y)} $, então:
f(x,y) = u(x,y)v(x,y)
No nosso caso, $ u = 2x^3 + y^2 $ e $ v = x^2 + y^2 $.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $:
u
v

Passo 5

Substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial x = (x^2 + y^2) cdot 6x^2 - (2x^3 + y^2) cdot 2x(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador:
6x^2(x^2 + y^2) - 2x(2x^3 + y^2) = 6x^4 + 6x^2y^2 - 4x^4 - 2x y^2 = 2x^4 + 6x^2y^2 - 2x y^2

Passo 7

Portanto, a derivada parcial em relação a $ x $ fica:
x

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.

Passo 9

Aplicamos novamente a regra do quociente:
partial fpartial y = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2

Passo 10

Calculamos as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $:
u
v

Passo 11

Substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot 2y - (2x^3 + y^2) cdot 2y(x^2 + y^2)^2

Passo 12

Simplificamos o numerador:
2y(x^2 + y^2) - 2y(2x^3 + y^2) = 2x^2y + 2y^3 - 4x^3y - 2y^3 = 2x^2y - 4x^3y

Passo 13

Assim, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = 2x^4 + 6x^2y^2 - 2x y^2(x^2 + y^2)^2
e
partial fpartial y = 2x^2y - 4x^3y(x^2 + y^2)^2

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