Calcule as derivadas parciais
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \frac{2x^{3} + y{2}}{x{2} + y^{2}} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Nesse caso, tratamos $ y $ como uma constante.
Passo 3
Aplicamos a regra do quociente para derivadas parciais. Se $ f(x,y) = \frac{u(x,y)}{v(x,y)} $, então:
No nosso caso, $ u = 2x^3 + y^2 $ e $ v = x^2 + y^2 $.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $:
Passo 5
Substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o numerador:
Passo 7
Portanto, a derivada parcial em relação a $ x $ fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Passo 9
Aplicamos novamente a regra do quociente:
Passo 10
Calculamos as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $:
Passo 11
Substituímos esses valores na fórmula da regra do quociente:
Passo 12
Simplificamos o numerador:
Passo 13
Assim, a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e