Calcule o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico
e o plano
.
Passo 1
Estamos lidando com o sólido limitado pelo paraboloide elíptico
e pelo plano
com
. O objetivo é calcular o volume desse sólido usando integrais duplas.
Passo 2
A projeção desse sólido no plano
é a região
dada pela interseção dos dois limites:
Passo 3
Para obter o volume, usamos o método de soma de fatias verticais. Cada ponto
gera uma altura
. Assim,
Passo 4
Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variáveis que esfériza a elipse:
Passo 5
Na nova variável
, a região torna-se o disco
e a integral vira:
Passo 6
Agora usamos coordenadas polares em
:
Passo 7
A integral em polares fica
Passo 8
Calculando a parte radial:
Passo 9
Multiplicando pelo fator angular e pelo jacobiano
: