Calcule o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico x^2a^2+y^2b^2=z e o plano z=c, c>0.

Passo 1

Estamos lidando com o sólido limitado pelo paraboloide elíptico z=x^2a^2+y^2b^2 e pelo plano z=c com c>0. O objetivo é calcular o volume desse sólido usando integrais duplas.

Passo 2

A projeção desse sólido no plano xy é a região D dada pela interseção dos dois limites:
D:;x^2a^2+y^2b^2<= c

Passo 3

Para obter o volume, usamos o método de soma de fatias verticais. Cada ponto (x,y)in D gera uma altura c - (x^2/a^2 + y^2/b^2). Assim,
V=integral duplaD l(c - (tfracx^2a^2+tfracy^2b^2)r),dx,dy

Passo 4

Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variáveis que esfériza a elipse:
x = a,u, y = b,v, dx,dy = a b,du,dv

Passo 5

Na nova variável (u,v), a região torna-se o disco u^2+v^2<= c e a integral vira:
V = a b integral duplau^2+v^2<= c l(c - (u^2+v^2)r),du,dv

Passo 6

Agora usamos coordenadas polares em (u,v):
u = rcostheta, v = rsintheta, du,dv = r,dr,dtheta

Passo 7

A integral em polares fica
V = a b integral0^2pi!integral0^raizc (c - r^2),r,dr,dtheta

Passo 8

Calculando a parte radial:
integral0^raizc(c r - r^3),dr = l[tfracc r^22 - tfracr^44r]0^raizc = tfracc^22 - tfracc^24 = tfracc^24

Passo 9

Multiplicando pelo fator angular e pelo jacobiano a b:
V = a b cdot 2pi cdot tfracc^24 = tfracpi a b c^22

Resposta

V = dfracpi a b c^22

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