Considere o sistemas a seguir e encontre a solução geral do sistema
(1) lx1^prime=5 x1-3 x2 x2^prime=3 x1-x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais lineares:
x1^prime = 5x1 - 3x2 x2^prime = 3x1 - x2
Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de matemática linear, como autovalores e autovetores. Esses conceitos vão nos ajudar a resolver o sistema de uma maneira organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita o uso de ferramentas da álgebra linear para resolver o sistema. Podemos representar o sistema assim:
x' = A x
Onde:
A = 5 & -3 3 & -1 , x = x1 x2
Aqui, representa as derivadas de e em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de A - lambda I = 5 - lambda & -3 3 & -1 - lambda que satisfazem a equação característica:
(5 - lambda)(-1 - lambda) - (-3)(3) = (5 - lambda)(-1 - lambda) + 9
Onde (5)(-1) + 5(-lambda) - lambda(-1) - lambda^2 + 9 = -5 - 5lambda + lambda - lambda^2 + 9 é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
- lambda^2 - 4lambda + 4 = 0 Rightarrow lambda^2 + 4lambda - 4 = 0
O determinante de lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a é:
lambda = -4 pm raiz16 + 162 = -4 pm raiz322 = -4 pm 4raiz22 = -2 pm 2raiz2
Expandindo:
lambda1 = -2 + 2raiz2, lambda2 = -2 - 2raiz2
Simplificando:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Vamos começar com (A - lambda1 I)v1 = 0 .
Para encontrar o autovetor 5 - (-2 + 2raiz2) & -3 3 & -1 - (-2 + 2raiz2) v11 v12 = 0 0 , resolvemos:
7 - 2raiz2 & -3 3 & 1 - 2raiz2 v11 v12 = 0 0
Substituindo (7 - 2raiz2)v11 - 3v12 = 0 Rightarrow v12 = 7 - 2raiz23 v11 :
v1 = 1 7 - 2raiz23
Simplificando:
v2 = 1 7 + 2raiz23
Resolvendo a primeira equação:
Podemos escolher para simplificar. Então:
De forma similar, para :

Passo 5

Agora, com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares com autovalores distintos é dada por:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 6

Substituindo os valores encontrados, temos:
x(t) = C1 e^(-2 + 2raiz2)t 1 7 - 2raiz23 + C2 e^(-2 - 2raiz2)t 1 7 + 2raiz23

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^(-2 + 2raiz2)t 1 dfrac7 - 2raiz23 + C2 e^(-2 - 2raiz2)t 1 dfrac7 + 2raiz23
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

Exercícios relacionados