Considere o sistemas a seguir e encontre a solução geral do sistema
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais lineares:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de matemática linear, como autovalores e autovetores. Esses conceitos vão nos ajudar a resolver o sistema de uma maneira organizada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita o uso de ferramentas da álgebra linear para resolver o sistema. Podemos representar o sistema assim:
Onde:
Aqui, representa as derivadas de e em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
O determinante de é:
Expandindo:
Simplificando:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Vamos começar com .
Para encontrar o autovetor , resolvemos:
Substituindo :
Simplificando:
Resolvendo a primeira equação:
Podemos escolher para simplificar. Então:
De forma similar, para :
Passo 5
Agora, com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares com autovalores distintos é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 6
Substituindo os valores encontrados, temos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.