Determine o comprimento de arco da curva y=6 x^23+1 entre os pontos A(0,1) e B(8,25).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=6 x^{2/3}+1 entre A(0,1) e B(8,25). O conteúdo é comprimento de arco de função y(x), e vamos precisar usar a fórmula L=∫_a^b√(1+(y’)²) dx; em seguida calcular y’, montar a integral e resolver.

Passo 2

Começo aplicando a fórmula de comprimento de arco: dado y=6 x^{2/3}+1, temos y’=6·(2/3)x{-1/3}=4x{-1/3}. Logo o integrando fica sqrt(1+(y’)²)=sqrt(1+16x^{-2/3}).

Passo 3

Para simplificar a integral L=∫_0^8 sqrt(1+16x^{-2/3}) dx fatoro x^{-2/3}:
1+16x^-2/3=x^-2/3(x^2/3+16),
então
raiz1+16x^-2/3=x^-1/3raizx^2/3+16
Faço a substituição u=x^{1/3}, logo x=u^3, dx=3u^2du, e os limites viram u(0)=0 e u(8)=2. O integrando x{-1/3}√(x{2/3}+16)dx vira 3u√(u^2+16)du.

Passo 4

Agora a integral L=∫_0^2 3u√(u^2+16)du reconhece-se que d/du[(u2+16){3/2}]=3u√(u^2+16). Assim
L=l[(u^2+16)^3/2r]0^2=(4+16)^3/2-(0+16)^3/2=20^3/2-16^3/2

Resposta

L=40\sqrt{5}-64

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