Calcule as derivadas parciais fracpartial fpartial x e fracpartial fpartial y das funções a seguir:
f(x, y)=ln (x+y^2+1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=lnl(x+y^2+1r)
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Vamos usar o conteúdo de derivada de função composta em várias variáveis, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=x+y^2+1
de modo que f(x,y)=lnl(g(x,y)r). Pela regra da cadeia temos
partial fpartial x =1g(x,y)cdotpartial gpartial x, partial fpartial y =1g(x,y)cdotpartial gpartial y

Passo 3

Calculamos as derivadas de g:
partial gpartial x=1, partial gpartial y=2y,
já que g(x,y)=x+y^2+1.

Passo 4

Substituindo em cada expressão da regra da cadeia, obtemos
partial fpartial x =1x+y^2+1cdot1 =1x+y^2+1,
partial fpartial y =1x+y^2+1cdot2y =2yx+y^2+1

Resposta

partial fpartial x=1x+y^2+1
partial fpartial y=2yx+y^2+1

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