Calcule as derivadas parciais fracpartial fpartial x e fracpartial fpartial y das funções a seguir:
f(x, y)=e^x^2-y^2 sin (x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=e^x^2-y^2sin(xy)
O conteúdo é derivadas parciais de uma função obtida por produto e composição, logo vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para organizar, definimos
g(x,y)=e^x^2-y^2, h(x,y)=sin(xy),
de modo que f(x,y)=g(x,y),h(x,y). A regra do produto para derivada parcial em x é
partial fpartial x =partial gpartial x,h +g,partial hpartial x

Passo 3

Calculemos os termos em x. Primeiro, pela cadeia, se u=x^2-y^2 então
partial gpartial x =ddxe^u =e^upartial upartial x =2x,e^x^2-y^2
Em seguida, para h=sin(v) com v=xy,
partial hpartial x =cos(v),partial vpartial x =ycos(xy)
Logo
partial fpartial x =2x,e^x^2-y^2sin(xy) +e^x^2-y^2;ycos(xy) =e^x^2-y^2l(2xsin(xy)+ycos(xy)r)

Passo 4

Agora em y. Pela mesma ideia, com u=x^2-y^2 temos
partial gpartial y =e^upartial upartial y =-2y,e^x^2-y^2,
e para v=xy,
partial hpartial y =cos(v),partial vpartial y =xcos(xy)
Aplicando a regra do produto em y:
partial fpartial y =-2y,e^x^2-y^2sin(xy) +e^x^2-y^2;xcos(xy) =e^x^2-y^2l(-2ysin(xy)+xcos(xy)r)

Resposta

partial fpartial x =e^x^2-y^2l(2xsin(xy)+ycos(xy)r), partial fpartial y =e^x^2-y^2l(-2ysin(xy)+xcos(xy)r)

Exercícios relacionados