Calcule as derivadas parciais fracpartial fpartial x e fracpartial fpartial y das funções a seguir:
f(x, y)=x^2 yx^2+y^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x^2yx^2+y^2+1
com respeito a x e a y. Como f é um quociente, vamos usar a regra do quociente: se
f=ND,
então
partial fpartial x =D,partial Npartial x-N,partial Dpartial xD^2 e partial fpartial y =D,partial Npartial y-N,partial Dpartial yD^2
Aqui temos
N(x,y)=x^2y, D(x,y)=x^2+y^2+1

Passo 2

Calculemos partial fpartial x. Primeiro
partial Npartial x=2xy, partial Dpartial x=2x
Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x =(x^2+y^2+1),(2xy) - (x^2y),(2x)(x^2+y^2+1)^2 =2x y,(x^2+y^2+1)-2x^3y(x^2+y^2+1)^2
Observe que 2x y,x^2-2x^3y=0, então sobra
partial fpartial x =2x y,(y^2+1)(x^2+y^2+1)^2

Passo 3

Agora partial fpartial y. Primeiro
partial Npartial y=x^2, partial Dpartial y=2y
Pela regra do quociente:
partial fpartial y =(x^2+y^2+1),x^2 - (x^2y),(2y)(x^2+y^2+1)^2 =x^2(x^2+y^2+1)-2x^2y^2(x^2+y^2+1)^2 =x^2(x^2-y^2+1)(x^2+y^2+1)^2

Resposta

partial fpartial x =2x y,(y^2+1)(x^2+y^2+1)^2, partial fpartial y =x^2(x^2-y^2+1)(x^2+y^2+1)^2

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