Calcule as derivadas parciais fracpartial fpartial x e fracpartial fpartial y das funções a seguir:
f(x, y)=x^3-3 x y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x^3-3,x,y^2
ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y. Vamos usar a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante, aplicando a regra da potência.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y como constante.
  • A derivada de x^3 em relação a x é, pela regra da potência, 3x^2.
  • A derivada de -3,x,y^2 em relação a x é -3,y^2, pois y^2 é constante e ddx(x)=1.
Logo,
partial fpartial x =3x^2-3y^2

Passo 3

Para calcular partial fpartial y tratamos x como constante.
  • A derivada de x^3 em relação a y é 0, pois não depende de y.
  • A derivada de -3,x,y^2 em relação a y é -3,xcdot 2y=-6xy, aplicando a regra da potência em y^2.
Logo,
partial fpartial y =-6xy

Resposta

partial fpartial x=3x^2-3y^2
partial fpartial y=-6xy

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