Calcule as derivadas parciais fracpartial fpartial x e fracpartial fpartial y das funções a seguir:
f(x, y)=cos (x y)+x sin (y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=cos(xy)+xsin(y). O conteúdo aqui é diferenciação de funções de duas variáveis, em que para calcular partial fpartial x tratamos y como constante, e para calcular partial fpartial y tratamos x como constante.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, derivamos termo a termo em relação a x, mantendo y fixo:
  • Em cos(xy), usemos a regra da cadeia: se u=xy, então
ddxcos(u) = -sin(u),dudx = -sin(xy)cdot y
  • Em xsin(y), como sin(y) é constante, temos
ddxl(xsin(y)r)=1cdotsin(y)=sin(y)
Somando,
partial fpartial x = -ysin(xy) + sin(y)

Passo 3

Para obter partial fpartial y, derivamos termo a termo em relação a y, mantendo x fixo:
  • Em cos(xy), novamente usamos a regra da cadeia com u=xy:
ddycos(u) = -sin(u),dudy = -sin(xy)cdot x
  • Em xsin(y), agora x é constante e a derivada de sin(y) é cos(y), logo
ddyl(xsin(y)r)=xcos(y)
Somando,
partial fpartial y = -xsin(xy) + xcos(y)

Resposta

partial fpartial x = -ysin(xy) + sin(y),
partial fpartial y = -xsin(xy) + xcos(y)

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