Calcule as derivadas parciais da função dada
h(x, y)=e^x^3 y+10 x y ln (x y^2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
h(x,y)=e^x^3y+10,x,ylnl(x,y^2r)
O conteúdo envolve regra da cadeia (para e^x^3y), produto e derivada de logaritmo (para x,yln(xy^2)).

Passo 2

Para partial hpartial x vamos derivar termo a termo.
No termo e^x^3y aplicamos a regra da cadeia: a derivada do exponencial é ele mesmo vezes a derivada do expoente x^3y em relação a x, que é 3x^2y. Assim
partialpartial xe^x^3y =3x^2y,e^x^3y
No termo 10,x,yln(xy^2) tiramos 10y como constante e derivamos
xln(xy^2)
Usamos produto:
ddxl[xln(xy^2)r] =ln(xy^2)+xcdot1xy^2cdot y^2 =ln(xy^2)+1
Multiplicando por 10y, obtemos
partialpartial xl(10,x,yln(xy^2)r) =10yl[ln(xy^2)+1r]

Passo 3

Somando as duas partes, a derivada parcial em x fica
partial hpartial x =3x^2y,e^x^3y +10yl[ln(xy^2)+1r]

Passo 4

Agora calculamos partial hpartial y. Para e^x^3y, novamente regra da cadeia: o expoente x^3y derivado em relação a y é x^3. Logo
partialpartial ye^x^3y =x^3,e^x^3y
No termo 10,x,yln(xy^2) tiramos 10x como constante e derivamos
yln(xy^2)
Pelo produto:
ddyl[yln(xy^2)r] =ln(xy^2)+ycdot1xy^2cdot xcdot2y =ln(xy^2)+2
Multiplicando por 10x, vem
partialpartial yl(10,x,yln(xy^2)r) =10xl[ln(xy^2)+2r]

Passo 5

Somando as duas contribuições, a derivada parcial em y é
partial hpartial y =x^3,e^x^3y +10xl[ln(xy^2)+2r]

Resposta

boxed partial hpartial x =3x^2y,e^x^3y +10yl[ln(xy^2)+1r], partial hpartial y =x^3,e^x^3y +10xl[ln(xy^2)+2r]

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