Determine todos os valores de x no intervalo [0,2 pi] que satisfaçam a desigualdade.
-1<tg x<1

Passo 1

O enunciado pede todos os xin[0,2pi] tais que
-1<tan x<1
Este é um problema de inequação trigonométrica. Vamos usar o fato de que tan é pi-periódica e estritamente crescente em cada ramo l(-tfracpi2,tfracpi2r).

Passo 2

Primeiro, achamos a solução no intervalo principal
-pi2<x<pi2
e depois usamos a periodicidade tan(x+pi)=tan x para gerar todas as soluções, por fim fazemos a interseção com [0,2pi].

Passo 3

Em -tfracpi2<x<tfracpi2, a função tan x é contínua e estritamente crescente de -infty a +infty. A condição
-1<tan x<1
corresponde aos pontos onde tan x=-1 e tan x=1, ou seja
tan x=-1Longrightarrow x=-pi4,
tan x=1Longrightarrow x=pi4
Logo, na base temos
-pi4<x<pi4

Passo 4

A solução geral dessa faixa é
-pi4+kpi < x < pi4+kpi, kinZ
Agora intersectamos com o intervalo dado 0<= x<=2pi.

Passo 5

Para k=0:
l(-tfracpi4,tfracpi4r)cap[0,2pi] =[0,tfracpi4)
Para k=1:
l(tfrac3pi4,tfrac5pi4r)cap[0,2pi] =(tfrac3pi4,tfrac5pi4)
Para k=2:
l(tfrac7pi4,tfrac9pi4r)cap[0,2pi] =(tfrac7pi4,2pi]

Resposta

xin[0,tfracpi4);cup;(tfrac3pi4,tfrac5pi4);cup;(tfrac7pi4,2pi]

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