Dada a seguinte equação diferencial, respondam os itens citados abaixo:
(a) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
(b) Forneça a solução geral da equação diferencial;
(c) A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
(d) Se em
temos
, forneça a solução particular para esta situação.
(b) Forneça a solução geral da equação diferencial;
(c) A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
(d) Se em
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
(a) classificação em tipo, ordem e linearidade;
(b) solução geral;
(c) indicar se a solução é explícita ou implícita;
(d) solução particular para .
(a) classificação em tipo, ordem e linearidade;
(b) solução geral;
(c) indicar se a solução é explícita ou implícita;
(d) solução particular para
Passo 2
Classificamos a equação:
- É uma equação diferencial ordinária (varia apenas em
e ). - A ordem é 1, pois só aparece
. - Não é linear em
(aparecem termos e produto de com ). - Contudo, ela é separável, pois podemos escrever todos os
de um lado e todos os do outro.
Passo 3
Isolando
e usando
, temos
Logo, separamos variáveis:
Passo 4
Integramos dos dois lados:
Para o lado de
:
Calculamos
Portanto
Para o lado de
:
Passo 5
A solução geral implícita é
Passo 6
Não é possível isolar
em função de
numa forma fechada elementar, logo a solução está dada de modo implícito.
Passo 7
Impondo
em
temos
Assim, a solução particular é
Resposta
(a) É uma equação diferencial ordinária, de primeira ordem, não linear e separável.
(b) A solução geral (implícita) é
(b) A solução geral (implícita) é
(c) A solução obtida é implícita.
(d) Com , a constante fica
e a solução particular é
(d) Com