(2,5) Dada a seguinte equação diferencial, respondam os itens citados abaixo:
(e^2 y-y) cos x d yd x=e^y sen(2 x)
(a) Classifique a equação diferencial em relação ao tipo, ordem e linearidade;
(b) Forneça a solução geral da equação diferencial;
(c) A solução apresenta no item (b) é explícita ou implícita?
(d) Se em x=0 temos y=0, forneça a solução particular para esta situação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(e^2y-yr)cos x,dydx=e^ysin(2x)
e pede:
(a) classificação em tipo, ordem e linearidade;
(b) solução geral;
(c) indicar se a solução é explícita ou implícita;
(d) solução particular para y(0)=0.

Passo 2

Classificamos a equação:
  • É uma equação diferencial ordinária (varia apenas em x e y(x)).
  • A ordem é 1, pois só aparece dydx.
  • Não é linear em y (aparecem termos e^2y e produto de y com dydx).
  • Contudo, ela é separável, pois podemos escrever todos os y de um lado e todos os x do outro.

Passo 3

Isolando dydx e usando sin(2x)=2sin xcos x, temos
dydx =e^ysin(2x)(e^2y-y)cos x =2e^ysin xe^2y-y
Logo, separamos variáveis:
e^2y-ye^y,dy =2sin x,dx

Passo 4

Integramos dos dois lados:
Para o lado de y:
integrale^2y-ye^y,dy =integrall(e^y-y,e^-yr),dy =integral e^y,dy-integral y,e^-y,dy
Calculamos
integral e^y,dy=e^y, integral y,e^-y,dy = -,y,e^-y-integral(-e^-y),dy =-(y+1)e^-y
Portanto
integrall(e^y-y,e^-yr),dy =e^y+(y+1)e^-y
Para o lado de x:
integral 2sin x,dx=-2cos x + C

Passo 5

A solução geral implícita é
e^y+(y+1)e^-y=-2cos x + C

Passo 6

Não é possível isolar y em função de x numa forma fechada elementar, logo a solução está dada de modo implícito.

Passo 7

Impondo y(0)=0 em
e^y+(y+1)e^-y=-2cos x + C
temos
e^0+(0+1)e^0=-2cdot1 + C ;Longrightarrow; 2=C-2 ;Longrightarrow; C=4
Assim, a solução particular é
e^y+(y+1)e^-y=-2cos x+4

Resposta

(a) É uma equação diferencial ordinária, de primeira ordem, não linear e separável.
(b) A solução geral (implícita) é
e^y+(y+1)e^-y=-2cos x + C
(c) A solução obtida é implícita.
(d) Com y(0)=0, a constante fica C=4 e a solução particular é
e^y+(y+1)e^-y=-2cos x+4

Exercícios relacionados