Encontre o limite caso exista, ou mostre que o limite não existe
lim (x, y) (0,0) x^4-3 y^2x^2+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite
lim(x,y)to(0,0) x^4-3y^2x^2+4y^2
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos (ou seja, aproximar por retas ou eixos) para verificar se há valor único.

Passo 2

Para que o limite exista em R^2, o valor de x^4-3y^2x^2+4y^2 ao aproximar-se de (0,0) deve ser o mesmo em qualquer curva de aproximação. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Considere o caminho y=0. Substituindo em x^4-3y^2x^2+4y^2 obtemos
x^4-3cdot0^2x^2+4cdot0^2 =x^4x^2 =x^2
Logo
lim(x,0)to(0,0) x^4-3y^2x^2+4y^2 =limxto0 x^2 =0

Passo 4

Considere agora o caminho x=0. Substituindo em x^4-3y^2x^2+4y^2 obtemos
0^4-3y^20^2+4y^2 =-3y^24y^2 =-tfrac34
Portanto
lim(0,y)to(0,0) x^4-3y^2x^2+4y^2 =limyto0 l(-tfrac34r) =-tfrac34

Passo 5

Como os dois caminhos deram resultados diferentes ( 0 e -tfrac34), não há valor único para o limite. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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