Calcule as derivadas parciais fx, fy, fx y, fx x e fy y; das funções
f(x, y)=e^-a y cos (b x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=e^-a ycos(b x)
com respeito a x e y, e em seguida as segundas derivadas fxx, fxy e fyy. Vamos usar a regra da cadeia e as derivadas conhecidas de e^u, cos(u) e sin(u).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
A derivada de f em relação a x, tratando y como constante, é
fx = e^-a y,ddxl[cos(b x)r] = e^-a y,(-!bsin(b x)) = -b,e^-a ysin(b x)
A derivada de f em relação a y, tratando x como constante, é
fy = ddyl[e^-a yr]cos(b x) = (-!a,e^-a y)cos(b x) = -a,e^-a ycos(b x)

Passo 3

Agora a segunda derivada fxx, derivando fx em relação a x:
fxx = ddxl[-b,e^-a ysin(b x)r] = -b,e^-a y,ddx[sin(b x)] = -b,e^-a y,(bcos(b x)) = -b^2e^-a ycos(b x)

Passo 4

A derivada mista fxy, derivando fx em relação a y:
fxy = ddyl[-b,e^-a ysin(b x)r] = -bsin(b x),ddy[e^-a y] = -bsin(b x),(-a,e^-a y) = ab,e^-a ysin(b x)

Passo 5

Por fim fyy, derivando fy em relação a y:
fyy = ddyl[-a,e^-a ycos(b x)r] = -acos(b x),ddy[e^-a y] = -acos(b x),(-a,e^-a y) = a^2e^-a ycos(b x)

Resposta

fx = -b,e^-a ysin(b x)
fy = -a,e^-a ycos(b x)
fxx = -b^2e^-a ycos(b x)
fxy = ab,e^-a ysin(b x)
fyy = a^2e^-a ycos(b x)

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