Calcule as derivadas parciais fx, fy, fx y, fx x e fy y; das funções
f(x, y)=tan ^-1(x y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de várias ordens da função f(x, y) = tan^-1(x y^2) . Isso envolve conhecimento de derivadas parciais e da regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, como a arctangente, e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, fx .
A função é f(x, y) = tan^-1(x y^2) . Para derivar isso em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de tan^-1(u) em relação a u é 11 + u^2 , e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x .
Aqui, u = x y^2 , então partial upartial x = y^2 .
Então,
fx = 11 + (x y^2)^2 cdot y^2 = y^21 + x^2 y^4

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fy .
Novamente, usando a regra da cadeia. A derivada de tan^-1(u) em relação a u é 11 + u^2 , e multiplicamos pela derivada de u em relação a y .
Aqui, u = x y^2 , então partial upartial y = 2x y .
Portanto,
fy = 11 + (x y^2)^2 cdot 2x y = 2x y1 + x^2 y^4

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada mista fxy , que é a derivada de fx em relação a y .
Temos fx = y^21 + x^2 y^4 . Para derivar isso em relação a y , usamos a regra do quociente:
fxy = (2y)(1 + x^2 y^4) - y^2(4x^2 y^3)(1 + x^2 y^4)^2
Simplificando,
fxy = 2y + 2x^2 y^5 - 4x^2 y^5(1 + x^2 y^4)^2 = 2y - 2x^2 y^5(1 + x^2 y^4)^2

Passo 5

Vamos calcular agora a segunda derivada parcial de f em relação a x , ou seja, fxx .
Começamos com fx = y^21 + x^2 y^4 . Derivando isso em relação a x :
Usamos a regra do quociente novamente:
fxx = 0 cdot (1 + x^2 y^4) - y^2 cdot (2x y^4)(1 + x^2 y^4)^2 = -2x y^6(1 + x^2 y^4)^2

Passo 6

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fyy .
Começamos com fy = 2x y1 + x^2 y^4 . Derivando isso em relação a y :
Usamos a regra do quociente:
fyy = 2x (1 + x^2 y^4) - 2x y (4x^2 y^3)(1 + x^2 y^4)^2 = 2x + 2x^3 y^4 - 8x^3 y^4(1 + x^2 y^4)^2 = 2x - 6x^3 y^4(1 + x^2 y^4)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
fx = y^21 + x^2 y^4
fy = 2x y1 + x^2 y^4
fxy = 2y - 2x^2 y^5(1 + x^2 y^4)^2
fxx = -2x y^6(1 + x^2 y^4)^2
fyy = 2x - 6x^3 y^4(1 + x^2 y^4)^2

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