Calcule as derivadas parciais
e
; das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de várias ordens da função
. Isso envolve conhecimento de derivadas parciais e da regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, como a arctangente, e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Aqui,
, então
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Temos
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do quociente:
Simplificando,
Passo 5
Vamos calcular agora a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Começamos com
. Derivando isso em relação a
:
Usamos a regra do quociente novamente:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Começamos com
. Derivando isso em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais são: