Considerando a função
, mostre que o campo escalar
satifaz a equação diferencial
Passo 1
O enunciado define
e
Queremos mostrar que
Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, calculemos
.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
Como
segue
Passo 3
Agora, calculemos
.
Diferenciando em relação a
e lembrando que
depende de
:
Diferenciando
pois
.
Em particular,
Em particular,
de modo que
Então
Passo 4
Por fim, calculemos
.
Pelo Teorema Fundamental e regra da cadeia:
Pelo Teorema Fundamental e regra da cadeia:
E
Logo
Comparando com
vemos que
vemos que
Resposta
Mostramos que
ou seja,
satisfaz a equação diferencial exigida.