Considerando a função g(x, y)=x2 raiz2 y, y>0, mostre que o campo escalar
u(x, y)=integral0^g(x, y) e^-u^2 d u
satifaz a equação diferencial
2 partial^2 upartial x^2(x, y)=partial upartial y(x, y)

Passo 1

O enunciado define
g(x,y)=x2raiz2y, y>0,
e
u(x,y)=integral0^g(x,y)e^-u^2,du
Queremos mostrar que
2,partial^2upartial x^2(x,y)=partial upartial y(x,y)
Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, calculemos
partial upartial x.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
partial upartial x =e^-,l(g(x,y)r)^2;partial gpartial x
Como
g(x,y)=x2raiz2y Longrightarrow partial gpartial x=12raiz2y,
segue
partial upartial x =12raiz2y;e^-,l(g(x,y)r)^2

Passo 3

Agora, calculemos
partial^2upartial x^2.
Diferenciando partial u/partial x em relação a x e lembrando que g depende de x:
partial^2upartial x^2 =partialpartial xl[e^-g^2;gxr] =-2,g,gx^2;e^-g^2
pois gxx=0.
Em particular,
gx=12raiz2y, g=x2raiz2y,
de modo que
gx^2=18y, -2,g,gx^2 =-2;x2raiz2y;18y =-x8raiz2,y^3/2
Então
partial^2upartial x^2 =-x8raiz2,y^3/2;e^-g^2

Passo 4

Por fim, calculemos
partial upartial y.
Pelo Teorema Fundamental e regra da cadeia:
partial upartial y =e^-g^2;partial gpartial y
E
partial gpartial y =partialpartial y!l(x2raiz2yr) =-x4raiz2,y^3/2
Logo
partial upartial y =-x4raiz2,y^3/2;e^-g^2
Comparando com
2,partial^2upartial x^2 =2l(-x8raiz2,y^3/2e^-g^2r) =-x4raiz2,y^3/2e^-g^2,
vemos que
2,partial^2upartial x^2 =partial upartial y

Resposta

Mostramos que
2,partial^2upartial x^2(x,y)=partial upartial y(x,y),
ou seja, u(x,y) satisfaz a equação diferencial exigida.

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