Calcule as derivadas parciais fx, fy, fx y, fx x e fy y; das funções
f(x, y)=a x+b yc x+d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais fx , fy , fxy , fxx e fyy da função f(x, y) = a x + b yc x + d y . Vamos precisar conhecer as regras de derivação, especialmente a regra do quociente para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que é fx . Para isso, usamos a regra do quociente:
fx = (a)(c x + d y) - (a x + b y)(c)(c x + d y)^2
Simplificando:
fx = a c x + a d y - a c x - b c y(c x + d y)^2 = a d y - b c y(c x + d y)^2 = y(a d - b c)(c x + d y)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que é fy . Novamente, usamos a regra do quociente:
fy = (b)(c x + d y) - (a x + b y)(d)(c x + d y)^2
Simplificando:
fy = b c x + b d y - a d x - b d y(c x + d y)^2 = b c x - a d x(c x + d y)^2 = x(b c - a d)(c x + d y)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada mista fxy . Isso significa que primeiro derivamos f em relação a x e depois derivamos o resultado em relação a y . Usando fx = y(a d - b c)(c x + d y)^2 :
fxy = ddy ( y(a d - b c)(c x + d y)^2 )
Aplicando a regra do quociente novamente:
fxy = (a d - b c)(c x + d y)^2 - y(a d - b c)(2)(c x + d y)(d)(c x + d y)^4
Simplificando:
fxy = (a d - b c)(c x + d y) - 2 d y(a d - b c)(c x + d y)^3
fxy = (a d - b c)(c x + d y - 2 d y)(c x + d y)^3 = (a d - b c)(c x - d y)(c x + d y)^3

Passo 5

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial em relação a x , que é fxx . Pegamos fx = y(a d - b c)(c x + d y)^2 e derivamos novamente em relação a x :
fxx = ddx ( y(a d - b c)(c x + d y)^2 )
Usando a regra do quociente:
fxx = 0 cdot (c x + d y)^2 - y(a d - b c)(2)(c)(c x + d y)(c x + d y)^4
Simplificando:
fxx = -2 c y (a d - b c)(c x + d y)^3

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a y , que é fyy . Partimos de fy = x(b c - a d)(c x + d y)^2 e derivamos em relação a y :
fyy = ddy ( x(b c - a d)(c x + d y)^2 )
Aplicando a regra do quociente:
fyy = 0 cdot (c x + d y)^2 - x(b c - a d)(2 d)(c x + d y)(c x + d y)^4
Simplificando:
fyy = -2 d x (b c - a d)(c x + d y)^3 = 2 d x (a d - b c)(c x + d y)^3

Resposta

As derivadas parciais são:
fx = y(a d - b c)(c x + d y)^2
fy = x(b c - a d)(c x + d y)^2
fxy = (a d - b c)(c x - d y)(c x + d y)^3
fxx = -2 c y (a d - b c)(c x + d y)^3
fyy = 2 d x (a d - b c)(c x + d y)^3

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