Encontre o limite caso exista, ou mostre que o limite não existe
lim (x, y) (0,0) 6 y^4 cos ^2(3 x)x^4+y^4

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) 6,y^4,cos^2(3x)x^4+y^4
Isso é um limite de função de duas variáveis. Para ele existir, o valor a que a função se aproxima ao longo de qualquer trajetória em direção a (0,0) deve ser o mesmo.

Passo 2

Uma forma clássica de testar existência é usar a família de retas
y = m cdot x,
com m constante. Se o limite variar com m, então não existe limite geral.

Passo 3

Substituindo y=mx na expressão, vem
6,(mx)^4,cos^2(3x)x^4+(mx)^4 = 6,m^4,x^4,cos^2(3x)x^4(1+m^4) = 6,m^4,cos^2(3x)1+m^4
Quando xto0, temos cos^2(3x)to1, então ao longo de y=mx o limite vale
6,m^41+m^4

Passo 4

Para trajetórias específicas:
  • Se m=0 (eixo x), o limite é
    6cdot0^41+0^4=0
  • Se m=1 (reta y=x), o limite é
    6cdot1^41+1^4=3

Passo 5

Como o valor do limite depende de m (por exemplo, dá 0 para m=0 e 3 para m=1), concluímos que não existe um único valor para o limite.

Resposta

O limite não existe.

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