Calcule as derivadas parciais fx, fy, fx y, fx x e fy y; das funções
f(x, y)=ln (3 x^2+4 y^2)

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)=lnl(3x^2+4y^2r),
que é um caso de função composta: uma função logaritmo aplicado ao interior u(x,y)=3x^2+4y^2. Para obter as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia, lembrando que
partialpartial xln(u)=1u,partial upartial x e partialpartial yln(u)=1u,partial upartial y

Passo 2

Calculando fx, temos
u(x,y)=3x^2+4y^2 Longrightarrow partial upartial x=6x,
então
fx=1u,partial upartial x =6x3x^2+4y^2

Passo 3

Para fy, computamos
partial upartial y=8y
e assim
fy=1u,partial upartial y =8y3x^2+4y^2

Passo 4

Agora fxx=partialpartial x!l(fxr). Como
fx=6x3x^2+4y^2,
aplicamos a derivada de quociente: se N=6x e D=3x^2+4y^2,
N' = 6, D' = 6x,
fxx =N',D - N,D'D^2 =6(3x^2+4y^2)-6xcdot6x(3x^2+4y^2)^2 =18x^2+24y^2-36x^2(3x^2+4y^2)^2 =6(4y^2-3x^2)(3x^2+4y^2)^2

Passo 5

Para fyy=partialpartial y!l(fyr), com
fy=8y3x^2+4y^2,
temos N=8y, N'=8, D=3x^2+4y^2, D'=8y, logo
fyy =8(3x^2+4y^2)-8ycdot8y(3x^2+4y^2)^2 =24x^2+32y^2-64y^2(3x^2+4y^2)^2 =8(3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2)^2

Passo 6

Finalmente fxy=partialpartial y!l(fxr). Partindo de
fx=6x3x^2+4y^2,
o numerador não depende de y e o denominador tem derivada 8y, então
fxy =0cdot(3x^2+4y^2)-6xcdot8y(3x^2+4y^2)^2 =-48,x,y(3x^2+4y^2)^2

Resposta

fx=6x3x^2+4y^2, fy=8y3x^2+4y^2, fxx=6(4y^2-3x^2)(3x^2+4y^2)^2,
fyy=8(3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2)^2, fxy=-48,x,y(3x^2+4y^2)^2

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