Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1raizn+4

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral para determinar se a série
sumn=1^infty 1raizn+4
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o teste de convergência de séries positivas pelo comportamento de uma integral imprópria.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1raizx+4,
cujo domínio consideramos para x>=1. Observamos que:
  • f(x)>0 para todo x>=1;
  • f é contínua em [1,infty);
  • f é decrescente, pois a derivada f'(x) = -tfrac12 (x+4)^-3/2 é negativa em [1,infty).

Passo 3

Pelo Teste da Integral, a série sumn=1^inftyf(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
integral1^infty 1raizx+4,dx
for convergente.

Passo 4

Calculamos a integral imprópria substituindo u = x+4, de modo que du = dx e os limites vão de u(1)=5 a u(t)=t+4. Temos para t>1:
integral1^t (x+4)^-1/2,dx = integral5^t+4 u^-1/2,du = 2,u^1/2|5^,t+4 = 2l(raizt+4-raiz5r)
Ao levar ttoinfty, o termo raizt+4 cresce sem limite, logo
integral1^infty 1raizx+4,dx = limttoinfty2l(raizt+4-raiz5r) = infty
Portanto, a integral diverge.

Resposta

Como a integral imprópria diverge, o Teste da Integral nos garante que a série
sumn=1^infty 1raizn+4
também diverge.

Exercícios relacionados