Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o teste de convergência de séries positivas pelo comportamento de uma integral imprópria.
Passo 2
Definimos a função
cujo domínio consideramos para
. Observamos que:
-
para todo ; -
é contínua em ; -
é decrescente, pois a derivada é negativa em .
Passo 3
Pelo Teste da Integral, a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
for convergente.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria substituindo
, de modo que
e os limites vão de
a
. Temos para
:
Ao levar
ttoinfty , o termo
raizt+4 cresce sem limite, logo
Portanto, a integral diverge.
Resposta
Como a integral imprópria diverge, o Teste da Integral nos garante que a série
também diverge.