Calcule as derivadas parciais das funções:
g(x, y)=x yx^2+2 x+4 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
g(x,y)=x,yx^2+2x+4y
O conteúdo usado será a regra do quociente para derivadas parciais: se u(x,y) e v(x,y) são funções diferenciáveis, então
partialpartial x!l(uvr) =ux,v - u,vxv^2, partialpartial y!l(uvr) =uy,v - u,vyv^2

Passo 2

Definimos
u(x,y)=x,y, v(x,y)=x^2+2x+4y
Para partial g/partial x tratamos y como constante, logo
ux = y, vx = 2x+2
Aplicando a regra do quociente:
partial gpartial x =ux,v - u,vxv^2 =y,(x^2+2x+4y) - (x,y)(2x+2)(x^2+2x+4y)^2
No numerador:
y x^2 + 2x y + 4y^2 - 2x^2y - 2xy = -x^2y + 4y^2
Assim
partial gpartial x =-x^2y + 4y^2(x^2+2x+4y)^2

Passo 3

Para partial g/partial y tratamos x como constante, então
uy = x, vy = 4
De novo pelo quociente:
partial gpartial y =uy,v - u,vyv^2 =x,(x^2+2x+4y) - (x,y),4(x^2+2x+4y)^2
No numerador:
x^3 + 2x^2 + 4xy - 4xy = x^3 + 2x^2
Logo
partial gpartial y =x^3 + 2x^2(x^2+2x+4y)^2

Resposta

partial gpartial x =-x^2y + 4y^2(x^2+2x+4y)^2, partial gpartial y =x^3 + 2x^2(x^2+2x+4y)^2

Exercícios relacionados