Calcule as derivadas parciais das funções abaixo
f(x, y)=cllx+y^4x^2+y^2 ; & (x, y) neq(0,0) 0 ; & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx+y^4x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
Conteúdo: derivada parcial de função de duas variáveis via regra do quociente para (x,y)neq(0,0) e definição (limite) para o ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
f(x,y)=N(x,y)D(x,y), N(x,y)=x+y^4, D(x,y)=x^2+y^2
Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x =Nx,D - N,DxD^2 e partial fpartial y =Ny,D - N,DyD^2
Aqui Nx=1, Dx=2x, Ny=4y^3, Dy=2y.

Passo 3

Substituindo em partial f/partial x:
partial fpartial x =1cdot(x^2+y^2)-(x+y^4)cdot2x(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2-2x^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2 =-x^2+y^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2

Passo 4

Substituindo em partial f/partial y:
partial fpartial y =4y^3(x^2+y^2)-(x+y^4)cdot2y(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+4y^5-2xy-2y^5(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+2y^5-2x,y(x^2+y^2)^2

Passo 5

Agora em (0,0) usamos a definição de derivada parcial. Primeiro em x:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h+0h^2+0-0h =limhto01/hh =limhto01h^2=+infty,
logo a derivada parcial em x não existe (é divergente).

Passo 6

Em y:
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00+k^40+k^2-0k =limkto0k^2k =limkto0k =0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x =-x^2+y^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y =4x^2y^3+2y^5-2x,y(x^2+y^2)^2
Em (0,0):
partial fpartial x(0,0) não existe (diver>=), partial fpartial y(0,0)=0 ã

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