Utilizando técnicas de integração, determine:
(1,5) Determine integral 2x^2+(b+a) x+a b d x(a neq b).

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular a integral indefinida
integral 2x^2+(b+a)x+ab,dx, aneq b
O conteúdo é integração de função racional por decomposição em frações parciais: vamos fatorar o denominador, fazer a quebra em parcelas simples e então integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador como
x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
2(x+a)(x+b) = Ax+a + Bx+b
Multiplicando por (x+a)(x+b) obtemos
2 = A(x+b)+B(x+a)
Tomando x=-a 2=A(b-a), logo
A=2b-a
Tomando x=-b 2=B(a-b), logo
B=-2b-a

Passo 4

Substituindo em cada parcela e integrando:
integral 2(x+a)(x+b),dx =2b-aintegraldxx+a -2b-aintegraldxx+b =2b-al(ln|x+a|-ln|x+b|r)+C
Podemos então escrever de forma compacta:

Resposta

integral 2x^2+(b+a)x+ab,dx =2b-aln!l|x+ax+br|+C

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