Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = y \cos x + 2x e^{y} $. Derivadas parciais são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável específica, mantendo as outras constantes. Aqui, vamos calcular a derivada em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
-
Derivada de $ y \cos x $ em relação a $ x $:
- $ y $ é uma constante, então aplicamos a derivada de $ \cos x $:
-
Derivada de $ 2x e^{y} $ em relação a $ x $:
- $ e^{y} $ é uma constante em relação a $ x $, então:
Passo 3
Agora, somamos as derivadas dos termos para obter $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante.
A função novamente é:
Derivando termo a termo em relação a $ y $:
-
Derivada de $ y \cos x $ em relação a $ y $:
- $ \cos x $ é uma constante em relação a $ y $, então:
-
Derivada de $ 2x e^{y} $ em relação a $ y $:
- $ 2x $ é uma constante em relação a $ y $, então:
Passo 5
Agora, somamos as derivadas dos termos para obter $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) = y \cos x + 2x e^{y} $ são: