Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
f(x, y)=(y cos x+2 x e^y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = y \cos x + 2x e^{y} $. Derivadas parciais são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável específica, mantendo as outras constantes. Aqui, vamos calcular a derivada em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é:
f
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
  1. Derivada de $ y \cos x $ em relação a $ x $:
    • $ y $ é uma constante, então aplicamos a derivada de $ \cos x $:
    x
  2. Derivada de $ 2x e^{y} $ em relação a $ x $:
    • $ e^{y} $ é uma constante em relação a $ x $, então:
    partial fpartial x

Passo 3

Agora, somamos as derivadas dos termos para obter $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante.
A função novamente é:
f
Derivando termo a termo em relação a $ y $:
  1. Derivada de $ y \cos x $ em relação a $ y $:
    • $ \cos x $ é uma constante em relação a $ y $, então:
    y
  2. Derivada de $ 2x e^{y} $ em relação a $ y $:
    • $ 2x $ é uma constante em relação a $ y $, então:
    partial fpartial y

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos termos para obter $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial y

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = y \cos x + 2x e^{y} $ são:
f(x, y) = y cos x + 2x e^y
partial fpartial x = -y sin x + 2 e^y

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