Determine o ínfimo e o supremo das sequências:
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ínfimo e o supremo da sequência $ a_{n} = (-2)^{n} $. Isso está ligado ao conteúdo de Análise de Sequências, onde buscamos os limites inferior (ínfimo) e superior (supremo) que a sequência pode atingir ou se aproximar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta. Cada termo $ a_{n} = (-2)^{n} $ depende do valor de $ n $:
- Para $ n $ par: $ (-2)^{n} $ é positivo, porque um número negativo elevado a um número par resulta em positivo.
- Para $ n $ ímpar: $ (-2)^{n} $ é negativo, já que um número negativo elevado a um número ímpar permanece negativo.
Passo 3
Vamos calcular alguns termos para visualizar melhor:
- $ a_{1} = (-2)^{1} = -2 $
- $ a_{2} = (-2)^{2} = 4 $
- $ a_{3} = (-2)^{3} = -8 $
- $ a_{4} = (-2)^{4} = 16 $
- $ $ e assim por diante.
Vemos que a cada passo, o valor absoluto dos termos está crescendo exponencialmente.
Passo 4
Agora, vamos pensar no supremo e no ínfimo:
- Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência.
- Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência.
Passo 5
Observando os termos:
- Para $ n $ par, os termos $ a_{n} $ ficam cada vez maiores positivamente (4, 16, 64, …), ou seja, estão indo para $ +\infty $.
- Para $ n $ ímpar, os termos $ a_{n} $ ficam cada vez menores negativamente (-2, -8, -32, …), ou seja, estão indo para $ -\infty $.
Passo 6
Como a sequência não tem um limite finito superior ou inferior, podemos concluir que:
- Supremo: $ +\infty $ (não existe um número real que limite superior)
- Ínfimo: $ -\infty $ (não existe um número real que limite inferior)
Resposta
O supremo da sequência é $ +\infty $ e o ínfimo é $ -\infty $.