Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = e^{x}(\cos y + \sin y) $. Estamos trabalhando com derivadas parciais, que nos permitem ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante. Para isso, precisaremos aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função $ f(x, y) = e^{x}(\cos y + \sin y) $ é o produto de $ e^{x} $ e $ (\cos y + \sin y) $. Como estamos derivando em relação a $ x $, o termo $ (\cos y + \sin y) $ é considerado constante.
A derivada de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é $ e^{x} $. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Aqui, $ e^{x} $ é considerado constante porque estamos derivando em relação a $ y $. Precisamos derivar $ (\cos y + \sin y) $ em relação a $ y $.
A derivada de $ \cos y $ é $ -\sin y $ e a derivada de $ \sin y $ é $ \cos y $. Portanto:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e