Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
integral0^pi / 4 integral0^2 pi integral0^s seg rho^2 sen phi d rho d theta d phi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral integral0^pi / 4 integral0^2 pi integral0^s sen phi rho^2 sen phi , drho , dtheta , dphi. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas esféricas. Precisamos entender as integrais múltiplas e como elas descrevem volumes no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral em coordenadas esféricas. Nessa coordenada, rho é a distância do ponto à origem, theta é o ângulo no plano xy (longitude) e phi é o ângulo a partir do eixo z (latitude). A expressão para o volume em coordenadas esféricas é dada por:
V = integralphi1^phi2 integraltheta1^theta2 integralrho1^rho2 rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi
Aqui, nossa integral segue essa estrutura, com os limites de integração fornecidos.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração:
  • rho varia de 0 a s sin phi.
  • theta varia de 0 a 2pi.
  • phi varia de 0 a pi/4.
Isso nos indica que rho depende de phi, o que sugere que o sólido tem uma forma que se adapta ao ângulo phi.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^s sin phi rho^2 sin phi , drho = sin phi integral0^s sin phi rho^2 , drho
A integral de rho^2 em relação a rho é:
integral rho^2 , drho = rho^33
Aplicando os limites:
sin phi [ (s sin phi)^33 - 0 ] = s^3 sin^4 phi3

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral0^2pi s^3 sin^4 phi3 , dtheta = s^3 sin^4 phi3 integral0^2pi dtheta = s^3 sin^4 phi3 cdot 2pi = 2pi s^3 sin^4 phi3

Passo 6

Por fim, integramos em relação a phi:
integral0^pi/4 2pi s^3 sin^4 phi3 , dphi = 2pi s^33 integral0^pi/4 sin^4 phi , dphi
Para resolver integral sin^4 phi , dphi, usamos a identidade trigonométrica:
sin^4 phi = 3 - 4cos(2phi) + cos(4phi)8
Então,
integral0^pi/4 sin^4 phi , dphi = integral0^pi/4 3 - 4cos(2phi) + cos(4phi)8 , dphi
Integrando termo a termo:
38 phi - 416 sin(2phi) + 132 sin(4phi) gr|0^pi/4
Calculando nos limites:
38 cdot pi4 - 14 sin(pi2) + 132 sin(pi) - (0 - 0 + 0) = 3pi32 - 14 cdot 1 + 0 = 3pi32 - 14

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do volume:
V = 2pi s^33 ( 3pi32 - 14 ) = 2pi s^33 ( 3pi - 832 ) = 2pi s^3 (3pi - 8)96 = pi s^3 (3pi - 8)48

Resposta

O volume do sólido é V = pi s^3 (3pi - 8)48.

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