Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas esféricas. Precisamos entender as integrais múltiplas e como elas descrevem volumes no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral em coordenadas esféricas. Nessa coordenada, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano xy (longitude) e é o ângulo a partir do eixo z (latitude). A expressão para o volume em coordenadas esféricas é dada por:
Aqui, nossa integral segue essa estrutura, com os limites de integração fornecidos.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração:
varia de a .
varia de a .
varia de a .
Isso nos indica que depende de , o que sugere que o sólido tem uma forma que se adapta ao ângulo .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites:
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a :
Passo 6
Por fim, integramos em relação a :
Para resolver , usamos a identidade trigonométrica: