Calcule as derivadas parciais das funções abaixo
f(x, y)=x yraizx^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x,yraizx^2-y^2
ou seja, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
f(x,y)=u(x,y),v(x,y),
com u(x,y)=x,y e v(x,y)=(x^2-y^2)^-1/2. Calculamos
ux=partialpartial x(x,y)=y, vx=partialpartial xl(x^2-y^2r)^-1/2 =-tfrac12,(x^2-y^2)^-3/2cdot 2x =-x,(x^2-y^2)^-3/2

Passo 3

Aplicando a regra do produto para partial f/partial x:
partial fpartial x =ux,v+u,vx =y,(x^2-y^2)^-1/2 +x,yl[-x,(x^2-y^2)^-3/2r]
Colocando sobre o mesmo denominador:
partial fpartial x =y,(x^2-y^2)-x^2y(x^2-y^2)^3/2 =-y^3(x^2-y^2)^3/2

Passo 4

Agora partial f/partial y. Temos
uy=partialpartial y(x,y)=x, vy=-tfrac12,(x^2-y^2)^-3/2cdot(-2y) =y,(x^2-y^2)^-3/2
Logo,
partial fpartial y =uy,v+u,vy =x,(x^2-y^2)^-1/2 +x,yl[y,(x^2-y^2)^-3/2r] =x,(x^2-y^2)+x,y^2(x^2-y^2)^3/2 =x^3(x^2-y^2)^3/2

Resposta

partial fpartial x =-y^3(x^2-y^2)^3/2
partial fpartial y =x^3(x^2-y^2)^3/2

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