Exercício 7. (D. 6, ex.2.8) Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
e^-(x-3)^22

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(x)=e^-(x-3)^22
usando a convenção
Ff(k)=integral-infty^inftye^-ikxf(x),dx
Vamos precisar do resultado clássico da transformada de uma gaussiana centrada em zero e da propriedade de deslocamento em x.

Passo 2

Lembrando que, para
g(x)=e^-x^22,
temos o resultado padrão
integral-infty^inftye^-ikxe^-x^22,dx =raiz2pi,e^-k^22
Esse é o núcleo da transformada de Fourier de uma gaussiana de variância 1.

Passo 3

Agora observamos que
f(x)=g(x-3),
isto é, f é apenas g deslocada em +3 no eixo x. A propriedade de deslocamento diz que
Fg(x-a)(k)=e^-ika,Fg(k)
Aqui a=3.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, obtemos
Ff(k) =e^-ikcdot 3;Fg(k) =e^-3ik;l(raiz2pi,e^-k^22r)

Resposta

boxedFe^-(x-3)^22(k) =raiz2pi,e^-3ik,e^-k^22

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