Sem o uso da regra de L’Hospital, avalie os limites abaixo:
lim h 0 sen(a+h)-sen(a)h

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
limhto0sin(a+h)-sin(a)h
sem usar a regra de L\’Hospital. Isso é exatamente a definição de derivada de sin x em x=a, e vamos usar a fórmula de adição para senos e os limites fundamentais
limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

Usamos a identidade
sin(a+h)=sin(a)cos(h)+cos(a)sin(h)
e substituímos no numerador do limite:
sin(a+h)-sin(a) =sin(a)cos(h)+cos(a)sin(h)-sin(a)

Passo 3

Reescrevemos o quociente em dois termos:
sin(a+h)-sin(a)h =sin(a)l(cos(h)-1r)h +cos(a),sin(h)h

Passo 4

Agora aplicamos os limites conhecidos separadamente:
limhto0cos(h)-1h=0, limhto0sin(h)h=1
Logo o primeiro termo vai a 0 e o segundo vai a cos(a)cdot1.

Passo 5

Somando os resultados dos dois termos, obtemos
0 + cos(a) = cos(a)

Resposta

limhto0sin(a+h)-sin(a)h = cos(a)

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