Calcule as derivadas parciais das funções abaixo
f(x, y)= x+y^4x^2-y^2 & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)= dfracx+y^4x^2-y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
Ou seja, para (x,y)neq(0,0) a gente vai usar a regra do quociente, e no ponto (0,0) a gente vai usar a definição de derivada parcial via limite do quociente incremental.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
g(x,y)=x+y^4, h(x,y)=x^2-y^2, f=gh
Então
partial gpartial x=1, partial hpartial x=2x,
e pela regra do quociente
partial fpartial x =h,partialxg - g,partialxhh^2 =(x^2-y^2)cdot1 - (x+y^4)cdot2x(x^2-y^2)^2 =-x^2 -y^2 -2x,y^4(x^2-y^2)^2
Do mesmo modo,
partial gpartial y=4y^3, partial hpartial y=-2y,
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partial fpartial y =(x^2-y^2),4y^3 - (x+y^4)(-2y)(x^2-y^2)^2 =4x^2y^3 -4y^5 +2xy +2y^5(x^2-y^2)^2 =4x^2y^3 +2xy -2y^5(x^2-y^2)^2

Passo 3

No ponto (0,0) usamos a definição. Para partialxf(0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h+0h^2-0-0h =limhto01/hh =limhto01h^2 =+infty,
ou seja, não existe derivada parcial finita em x.
Para partialyf(0,0):
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto00+k^40-k^2k =limkto0-k^2k =limkto0(-k) =0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x =-x^2 -y^2 -2x,y^4(x^2-y^2)^2, partial fpartial y =4x^2y^3 +2xy -2y^5(x^2-y^2)^2
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0) não existe (é divergente) e partial fpartial y(0,0)=0.

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