Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja Pn o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. Verifique se lang<=,rang<=: Pn times Pn R definidas abaixo definem um produto interno. Justifique.
lang<= f, grang<==(integral0^1 f(t) d t)(integral0^1 g(t) d t).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= f,grang<==l(integral0^1f(t),dtr)l(integral0^1g(t),dtr)
em PntimesPntoR é um produto interno. Para isso vamos usar a definição: um produto interno em espaço real deve ser (i) simétrico, (ii) bilinear e (iii) positivo-definido.

Passo 2

Simetria e bilinearidade.
– Simetria: claramente
lang<= f,grang<= =l(integral0^1fr)l(integral0^1gr) =l(integral0^1gr)l(integral0^1fr) =lang<= g,frang<=
– Linearidade no primeiro argumento: para escalares alpha,beta e polinômios f,h,g vale
lang<= alpha f+beta h,;grang<= =l(integral0^1(alpha f+beta h)r)l(integral0^1gr) =(alpha!integral0^1f+beta!integral0^1h)l(integral0^1gr) =alphalang<= f,grang<=+betalang<= h,grang<=
O mesmo raciocínio vale no segundo argumento, então é bilinear.

Passo 3

Positividade e positividade definida.
– Positividade: para todo finPn
lang<= f,frang<= =l(integral0^1f(t),dtr)^2>=0
– Positividade definida exigiria lang<= f,frang<==0 somente se fequiv0. Mas se escolhermos, por exemplo,
f(t)=t-tfrac12,
então
integral0^1f(t),dt =integral0^1l(t-tfrac12r)dt =l[tfract^22-tfract2r]0^1 =l(tfrac12-tfrac12r)-0 =0,
logo lang<= f,frang<==0 mas f não é o polinômio nulo. Portanto falha a positividade definida.

Resposta

A forma lang<= f,grang<= não é um produto interno em Pn, pois não satisfaz a condição de positividade definida.

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