Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a
. Verifique se
definidas abaixo definem um produto interno. Justifique.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
é um produto interno. Para isso vamos usar a definição: um produto interno em espaço real deve ser (i) simétrico, (ii) bilinear e (iii) positivo-definido.
Passo 2
Simetria e bilinearidade.
– Simetria: claramente
– Simetria: claramente
– Linearidade no primeiro argumento: para escalares
e polinômios
vale
O mesmo raciocínio vale no segundo argumento, então é bilinear.
Passo 3
Positividade e positividade definida.
– Positividade: para todo
– Positividade: para todo
– Positividade definida exigiria
somente se
. Mas se escolhermos, por exemplo,
então
logo
mas
não é o polinômio nulo. Portanto falha a positividade definida.
Resposta
A forma
não é um produto interno em
, pois não satisfaz a condição de positividade definida.