Mostre que a função g(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 y^{2}, x^{2}+4 y^{2} \leq 5 \\\\ 3, x^{2}+4 y^{2}>5\end{array}\right. é contínua em todos os pontos de (x, y) \in R^{2} com exceção dos que estão sobre a elipse x^{2}+4 y^{2}=5
A tarefa é mostrar que g é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} salvo os que pertencem à elipse
x^{2}+4y^{2}=5.
Informações relevantes dadas:
A função é definida por um polinômio p(x,y)=x^{2}+4y^{2} quando p(x,y)\le 5.
A função vale a constante 3 quando p(x,y)>5.
O que se pede: provar continuidade em três tipos de pontos (os internos ao conjunto \{p<5\}, os externos \{p>5\} e os da fronteira \{p=5\}) e concluir que a única falha de continuidade ocorre sobre a elipse p=5.]
Passo 2
Definição/minha “aulinha” sobre continuidade em \mathbb{R}^2.
Dizemos que g é contínua em um ponto (a,b) se, para todo \varepsilon>0, existir \delta>0 tal que
\text{se }\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\text{ então }|g(x,y)-g(a,b)|<\varepsilon.ã
Fatos úteis (que também justificarei quando usar):
Polinômios em (x,y), como p(x,y)=x^{2}+4y^{2}, são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
Função constante (por exemplo a que vale 3) é contínua em todo lugar.
Se num ponto (a,b) existe uma pequena bola em que g coincide exatamente com uma função contínua h (por exemplo h=p ou h\equiv 3), então g é contínua em (a,b).
Passo 3
Continuidade em pontos interiores ao conjunto \{(x,y):x^{2}+4y^{2}<5\}.
Seja (a,b) tal que p(a,b)=a^{2}+4b^{2}=c<5. Quero mostrar g contínua em (a,b).
Como p é contínua, para \varepsilon_0=\dfrac{5-c}{2}>0 existe \delta>0 tal que
ou seja, toda essa bola permanece dentro da região \{p<5\}. Logo, num pequeno disco em volta de (a,b) vale g(x,y)=p(x,y).
Como p é contínua, para qualquer \varepsilon>0 posso escolher \delta (possivelmente menor) tal que \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta implica |p(x,y)-p(a,b)|<\varepsilon. Mas g=p nessa bola, então |g(x,y)-g(a,b)|=|p(x,y)-p(a,b)|<\varepsilon.
Conclusão: g é contínua em todo ponto com p(a,b)<5.
Passo 4
Continuidade em pontos exteriores ao conjunto \{(x,y):x^{2}+4y^{2}>5\}.
Seja (a,b) com p(a,b)=c>5. Quero mostrar g contínua em (a,b).
Tome \varepsilon_0=\dfrac{c-5}{2}>0. Pela continuidade de p existe \delta>0 tal que
ou seja, toda essa bola fica dentro de \{p>5\}. Nessa bola g(x,y)=3 é constante.
Portanto, para qualquer dado \varepsilon>0 podemos escolher esse \delta e, se \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, temos |g(x,y)-g(a,b)|=|3-3|=0<\varepsilon.
Conclusão: g é contínua em todo ponto com p(a,b)>5.
Passo 5
Mostrando que (a,b) com p(a,b)=5 (pontos da elipse) são pontos de descontinuidade.
Seja (a,b) tal que p(a,b)=a^{2}+4b^{2}=5. Vamos construir duas sequências que convergem para (a,b) mas cujos valores g tenham limites diferentes.
Sequência aproximando por fora (com p>5). Para n\in\mathbb{N} defina
As duas sequências convergem para o mesmo ponto (a,b), mas os limites dos respectivos g são diferentes: um é 3 e o outro é 5. Logo o limite \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) não existe. Mesmo se quiséssemos comparar com o valor de g em (a,b), repara que pelo enunciado g(a,b)=p(a,b)=5, e portanto o limite ao aproximar por fora (que é 3) não coincide com g(a,b). Em qualquer caso há descontinuidade.
Conclusão: todo ponto com p(a,b)=5 é ponto de descontinuidade.
Passo 6
Conclusão final — juntando os casos:
Em pontos com p<5 a função coincide localmente com o polinômio p, portanto é contínua.
Em pontos com p>5 a função coincide localmente com a constante 3, portanto é contínua.
Em pontos com p=5 (a elipse x^{2}+4y^{2}=5) provou-se que g é descontínua (há aproximações que dão limites distintos).
Portanto g é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} exceto os que estão sobre a elipse x^{2}+4y^{2}=5.
Resposta
A função g é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} com exceção dos pontos que satisfazem \;x^{2}+4y^{2}=5\; (a elipse), onde g é descontínua.