Mostre que a função g(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 y^{2}, x^{2}+4 y^{2} \leq 5 \\\\ 3, x^{2}+4 y^{2}>5\end{array}\right. é contínua em todos os pontos de (x, y) \in R^{2} com exceção dos que estão sobre a elipse x^{2}+4 y^{2}=5

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
g(x,y)=\begin{cases} x^{2}+4y^{2}, & x^{2}+4y^{2}\le 5,\\[4pt] 3, & x^{2}+4y^{2}>5. \end{cases}
A tarefa é mostrar que g é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} salvo os que pertencem à elipse
x^{2}+4y^{2}=5.
Informações relevantes dadas:
  • A função é definida por um polinômio p(x,y)=x^{2}+4y^{2} quando p(x,y)\le 5.
  • A função vale a constante 3 quando p(x,y)>5.
    O que se pede: provar continuidade em três tipos de pontos (os internos ao conjunto \{p<5\}, os externos \{p>5\} e os da fronteira \{p=5\}) e concluir que a única falha de continuidade ocorre sobre a elipse p=5.]

Passo 2

Definição/minha “aulinha” sobre continuidade em \mathbb{R}^2.
  • Dizemos que g é contínua em um ponto (a,b) se, para todo \varepsilon>0, existir \delta>0 tal que
\text{se }\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\text{ então }|g(x,y)-g(a,b)|<\varepsilon.ã
  • Fatos úteis (que também justificarei quando usar):
    1. Polinômios em (x,y), como p(x,y)=x^{2}+4y^{2}, são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
    2. Função constante (por exemplo a que vale 3) é contínua em todo lugar.
    3. Se num ponto (a,b) existe uma pequena bola em que g coincide exatamente com uma função contínua h (por exemplo h=p ou h\equiv 3), então g é contínua em (a,b).

Passo 3

Continuidade em pontos interiores ao conjunto \{(x,y):x^{2}+4y^{2}<5\}.
Seja (a,b) tal que p(a,b)=a^{2}+4b^{2}=c<5. Quero mostrar g contínua em (a,b).
  • Como p é contínua, para \varepsilon_0=\dfrac{5-c}{2}>0 existe \delta>0 tal que
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \quad\Rightarrow\quad |p(x,y)-c|<\varepsilon_0.
  • Então, para tais (x,y) temos
p(x,y)\le c+\varepsilon_0 = \frac{c+5}{2} <5,
ou seja, toda essa bola permanece dentro da região \{p<5\}. Logo, num pequeno disco em volta de (a,b) vale g(x,y)=p(x,y).
  • Como p é contínua, para qualquer \varepsilon>0 posso escolher \delta (possivelmente menor) tal que \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta implica |p(x,y)-p(a,b)|<\varepsilon. Mas g=p nessa bola, então |g(x,y)-g(a,b)|=|p(x,y)-p(a,b)|<\varepsilon.
    Conclusão: g é contínua em todo ponto com p(a,b)<5.

Passo 4

Continuidade em pontos exteriores ao conjunto \{(x,y):x^{2}+4y^{2}>5\}.
Seja (a,b) com p(a,b)=c>5. Quero mostrar g contínua em (a,b).
  • Tome \varepsilon_0=\dfrac{c-5}{2}>0. Pela continuidade de p existe \delta>0 tal que
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \quad\Rightarrow\quad |p(x,y)-c|<\varepsilon_0.
  • Assim, para tais (x,y) obtemos
p(x,y)\ge c-\varepsilon_0 = \frac{c+5}{2} >5,
ou seja, toda essa bola fica dentro de \{p>5\}. Nessa bola g(x,y)=3 é constante.
  • Portanto, para qualquer dado \varepsilon>0 podemos escolher esse \delta e, se \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, temos |g(x,y)-g(a,b)|=|3-3|=0<\varepsilon.
    Conclusão: g é contínua em todo ponto com p(a,b)>5.

Passo 5

Mostrando que (a,b) com p(a,b)=5 (pontos da elipse) são pontos de descontinuidade.
Seja (a,b) tal que p(a,b)=a^{2}+4b^{2}=5. Vamos construir duas sequências que convergem para (a,b) mas cujos valores g tenham limites diferentes.
  • Sequência aproximando por fora (com p>5). Para n\in\mathbb{N} defina
(x_n,y_n)=\bigl((1+\tfrac{1}{n})a,\,(1+\tfrac{1}{n})b\bigr).
Então (x_n,y_n)\to (a,b) quando n\to\infty. Calcule
p(x_n,y_n)=\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{2}p(a,b)=\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{2}\cdot 5>5,
logo para cada n tem-se g(x_n,y_n)=3. Portanto
\lim_{n\to\infty} g(x_n,y_n)=3.
  • Sequência aproximando por dentro (com p<5). Para n defina
(u_n,v_n)=\bigl((1-\tfrac{1}{n})a,\,(1-\tfrac{1}{n})b\bigr).
Temos (u_n,v_n)\to (a,b) e
p(u_n,v_n)=\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)^{2}p(a,b)=\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)^{2}\cdot 5<5,
portanto g(u_n,v_n)=p(u_n,v_n). Assim
\lim_{n\to\infty} g(u_n,v_n)=\lim_{n\to\infty} p(u_n,v_n)=5.
  • As duas sequências convergem para o mesmo ponto (a,b), mas os limites dos respectivos g são diferentes: um é 3 e o outro é 5. Logo o limite \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) não existe. Mesmo se quiséssemos comparar com o valor de g em (a,b), repara que pelo enunciado g(a,b)=p(a,b)=5, e portanto o limite ao aproximar por fora (que é 3) não coincide com g(a,b). Em qualquer caso há descontinuidade.
    Conclusão: todo ponto com p(a,b)=5 é ponto de descontinuidade.

Passo 6

Conclusão final — juntando os casos:
  • Em pontos com p<5 a função coincide localmente com o polinômio p, portanto é contínua.
  • Em pontos com p>5 a função coincide localmente com a constante 3, portanto é contínua.
  • Em pontos com p=5 (a elipse x^{2}+4y^{2}=5) provou-se que g é descontínua (há aproximações que dão limites distintos).
    Portanto g é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} exceto os que estão sobre a elipse x^{2}+4y^{2}=5.

Resposta

A função g é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^{2} com exceção dos pontos que satisfazem \;x^{2}+4y^{2}=5\; (a elipse), onde g é descontínua.

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