Calcule as derivadas parciais das funçōes dadas:
g(x, y)=sen(raizx^2+y^2)raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
g(x,y)=senl(raizx^2+y^2r)raizx^2+y^2
O conteúdo principal é o uso da regra da cadeia em função de duas variáveis, reconhecendo que a expressão depende de x e y apenas via r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Definimos
r = raizx^2+y^2,
de modo que
g(x,y)=h(r),
onde
h(r)=sen(r)r
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de partial r/partial x e partial r/partial y. Como
r = (x^2+y^2)^1/2,
temos
partial rpartial x = 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2x = xr,
e, analogamente,
partial rpartial y = yr

Passo 3

Agora calculamos a derivada de h(r) em relação a r. Usando a regra do quociente em
h(r)=sen(r)r,
temos
h'(r) =rcos(r)-sen(r)r^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial g/partial x:
partial gpartial x = h'(r),partial rpartial x =rcos(r)-sen(r)r^2cdot xr =xl(rcos(r)-sen(r)r)r^3

Passo 5

De modo completamente análogo, para partial g/partial y:
partial gpartial y = h'(r),partial rpartial y =rcos(r)-sen(r)r^2cdot yr =yl(rcos(r)-sen(r)r)r^3

Resposta

partial gpartial x =xl(rcos(r)-sen(r)r)r^3, partial gpartial y =yl(rcos(r)-sen(r)r)r^3,
com r=raizx^2+y^2.

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