Para quais valores de a e b o campo vetorial
F(x, y, z)=(y^2+2 b x z, a x y+b y z, b x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=(P,Q,R)=(y^2+2b,x,z,;a,x,y+b,y,z,;b,x^2+y^2)
e pede para quais valores de a e b ele é conservativo. Num domínio simplesmente conexo, um campo é conservativo se, e somente se,
nablatimes F=0

Passo 2

Vamos usar a fórmula do rotacional para campos em R^3:
nablatimes F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Precisamos zerar cada componente.

Passo 3

Componente x:
partial Rpartial y =partial (b,x^2+y^2)partial y=2y, partial Qpartial z =partial (a,x,y+b,y,z)partial z=b,y,
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(nablatimes F)x =2y - b,y = y,(2 - b)
Para anular para todo y é necessário 2-b=0, ou seja b=2.

Passo 4

Componente z:
partial Qpartial x =partial (a,x,y+b,y,z)partial x=a,y, partial Ppartial y =partial (y^2+2b,x,z)partial y=2y,
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(nablatimes F)z =a,y - 2y = y,(a - 2)
Para anular para todo y é necessário a-2=0, ou seja a=2.

Passo 5

Componente y:
partial Ppartial z=2b,x, partial Rpartial x=2b,x Longrightarrow (nablatimes F)y=0
independe de a,b, já dá zero automaticamente.

Resposta

a=2 e b=2.

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