Calcule as derivadas parciais das funçōes dadas:
z=raiz[3]x^2+y^2+3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = raiz[3]x^2 + y^2 + 3
e pede as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y.
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos escrever
u = x^2 + y^2 + 3, z = u^1/3
A regra da cadeia diz que
partial zpartial x = dzdu,partial upartial x, partial zpartial y = dzdu,partial upartial y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u:
partial upartial x = 2x, partial upartial y = 2y
E a derivada de z em relação a u é
dzdu = 13,u^-2/3 = 13,(x^2+y^2+3)^-2/3

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia, obtemos
partial zpartial x = 13(x^2+y^2+3)^-2/3cdot 2x = 2x3,(x^2+y^2+3)^2/3,
partial zpartial y = 13(x^2+y^2+3)^-2/3cdot 2y = 2y3,(x^2+y^2+3)^2/3

Resposta

partial zpartial x = 2x3,(x^2+y^2+3)^2/3, partial zpartial y = 2y3,(x^2+y^2+3)^2/3

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