Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(y e^x+sen(y), e^x+x cos (y))

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=y,e^x+sin(y), ; Q(x,y)=e^x+xcos(y)
e pede para verificar se F é conservativo.
Como o domínio é R^2, que é simplesmente-conexo, basta usar o teste
partial P/partial y=partial Q/partial x.
Em caso afirmativo, achamos uma função f tal que nabla f=F.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais(na parte interior de R^2):
partial Ppartial y =partialpartial yl(y,e^x+sin(y)r) =e^x+cos(y),
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^x+xcos(y)r) =e^x+cos(y)

Passo 3

Como
partial Ppartial y =partial Qpartial x =e^x+cos(y)
em todo o domínio, concluímos que F é um campo conservativo.

Passo 4

Para encontrar a potencial f(x,y) tal que nabla f=F, integramos P em relação a x:
f(x,y) =integral l(y,e^x+sin(y)r),dx =y,e^x + x,sin(y) + g(y),
onde g(y) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 5

Agora impomos que fy=Q. Calculando
fy =partialpartial yl(y,e^x + x,sin(y) + g(y)r) =e^x + xcos(y) + g'(y)
e exigindo fy=Q=e^x + xcos(y), obtemos g'(y)=0. Logo g(y)=C, constante.

Passo 6

Portanto, uma função potencial é
f(x,y)=y,e^x + x,sin(y) + C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

Sim, F é conservativo. Uma função f com nabla f=F é
f(x,y)=y,e^x + x,sin(y) + C

Exercícios relacionados