Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se
é conservativo.
Como o domínio é , que é simplesmente-conexo, basta usar o teste
.
Em caso afirmativo, achamos uma função tal que
.
Como o domínio é
Em caso afirmativo, achamos uma função
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais(na parte interior de
):
Passo 3
Como
em todo o domínio, concluímos que
é um campo conservativo.
Passo 4
Para encontrar a potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função “constante” em relação a
.
Passo 5
Agora impomos que
. Calculando
e exigindo
, obtemos
. Logo
, constante.
Passo 6
Portanto, uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
Sim,
é conservativo. Uma função
com
é