Mostre que a integral integralC(1-y e^-x) d x+e^-x d y independe de caminho que une os pontos (0,1) e (1,2) e calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
integralCl(1 - y e^-xr),dx + e^-x,dy
é independe do caminho que une (0,1) a (1,2) e, em seguida, calcular esse valor.
O conteúdo usado será teoria de formas diferenciais exatas e funções potenciais.

Passo 2

Denotemos
P(x,y) = 1 - y e^-x, Q(x,y)=e^-x
A forma P,dx + Q,dy é exata em R^2 se
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Calculamos
partial Ppartial y = -e^-x, partial Qpartial x = -e^-x,
logo são iguais e a forma é exata numa região simplesmente conexa.

Passo 3

Como a forma é exata, existe função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x = P(x,y) = 1 - y e^-x
Integramos em relação a x:
f(x,y) = integrall(1 - y e^-xr),dx = x + y e^-x + phi(y),
onde phi(y) é função a determinar.

Passo 4

Para ajustar phi(y), usamos
partial fpartial y = e^-x + phi'(y) stackrel!= Q(x,y) = e^-x
Daqui phi'(y)=0, logo phi(y) é constante que podemos anular.

Passo 5

A função potencial fica
f(x,y) = x + y e^-x
Assim, por independência de caminho,
integralCl(1 - y e^-xr),dx + e^-x,dy = f(1,2) - f(0,1) = l(1 + 2e^-1r) - l(0 + 1cdot e^0r) = 2e

Resposta

2e

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