Mostre que a integral
independe de caminho que une os pontos
e
e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
é independe do caminho que une
a
e, em seguida, calcular esse valor.
O conteúdo usado será teoria de formas diferenciais exatas e funções potenciais.
O conteúdo usado será teoria de formas diferenciais exatas e funções potenciais.
Passo 2
Denotemos
A forma
é exata em
se
Calculamos
logo são iguais e a forma é exata numa região simplesmente conexa.
Passo 3
Como a forma é exata, existe função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para ajustar
, usamos
Daqui
, logo
é constante que podemos anular.
Passo 5
A função potencial fica
Assim, por independência de caminho,