Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
f) f(x, y)=\operatorname{sec} (2 x y),(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f no ponto (0,0). A função dada é
f(x,y)=\operatorname{sec}(2xy).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão de f(x,y) é \operatorname{sec}(2xy).
  • O ponto onde queremos as parciais é (0,0).
  • Valor de referência: f(0,0)=\operatorname{sec}(0)=1 (já que 2\cdot0\cdot0=0 e \operatorname{sec}(0)=1).
As perguntas são:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0).
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).

Passo 2

Lembrando o que é derivada parcial (de forma bem direta): a derivada parcial em x em (0,0) é a derivada da função unidimensional g(x)=f(x,0) no ponto x=0. Em fórmula:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em y em (0,0) é a derivada da função unidimensional h(y)=f(0,y) em y=0:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}.
Vou usar primeiro essa definição por limite (é a mais direta e segura para demonstrar o valor), e depois mostrar o mesmo resultado usando a regra da cadeia para reforçar a intuição.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) pelo limite:
  • Fixar y=0. Então para qualquer x temos
f(x,0)=\operatorname{sec}(2x\cdot 0)=\operatorname{sec}(0)=1.
  • Ou seja, a função em relação a x quando y=0 é constante igual a 1. Logo a derivada dessa função constante é zero. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1-1}{h}=\lim_{h\to0}0=0.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) pelo limite:
  • Fixar x=0. Então para qualquer y temos
f(0,y)=\operatorname{sec}(2\cdot 0\cdot y)=\operatorname{sec}(0)=1.
  • Novamente é constante igual a 1 em relação a y, então a derivada é zero. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{1-1}{k}=\lim_{k\to0}0=0.

Passo 5

Verificação via regra da cadeia (intuição adicional e fórmula prática):
  • Considere u(x,y)=2xy. Temos f(x,y)=\operatorname{sec}(u(x,y)).
  • Derivada de \operatorname{sec}(u) em relação a u é \dfrac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
  • Pela regra da cadeia para parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\operatorname{sec}(2xy)\tan(2xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2xy).
  • Como \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\operatorname{sec}(2xy)\tan(2xy)\cdot 2y.
  • Avaliando em (0,0): \operatorname{sec}(0)=1, \tan(0)=0 e y=0, então
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1\cdot 0\cdot 2\cdot 0=0.
  • De forma análoga,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\operatorname{sec}(2xy)\tan(2xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2xy) =\operatorname{sec}(2xy)\tan(2xy)\cdot 2x,
e em (0,0) isso dá
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1\cdot 0\cdot 2\cdot 0=0.
Essa verificação confirma os resultados obtidos pelos limites.

Passo 6

Resumo e interpretação rápida (para a prova): fixar uma variável igual a zero torna 2xy=0 e \operatorname{sec}(0)=1, então ao variar a outra variável a função fica constante igual a 1, daí a parcial é zero. A regra da cadeia também dá zero porque aparece um fator y (ou x) multiplicando \tan(2xy), e no ponto (0,0) esse fator anula a expressão.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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