Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
f)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
no ponto
. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão de
é . - O ponto onde queremos as parciais é
. - Valor de referência:
(já que e ).
As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Lembrando o que é derivada parcial (de forma bem direta): a derivada parcial em
em
é a derivada da função unidimensional
no ponto
. Em fórmula:
Analogamente, a derivada parcial em
em
é a derivada da função unidimensional
em
:
Vou usar primeiro essa definição por limite (é a mais direta e segura para demonstrar o valor), e depois mostrar o mesmo resultado usando a regra da cadeia para reforçar a intuição.
Passo 3
Cálculo de
pelo limite:
- Fixar
. Então para qualquer temos
- Ou seja, a função em relação a
quando é constante igual a . Logo a derivada dessa função constante é zero. Formalmente,
Passo 4
Cálculo de
pelo limite:
- Fixar
. Então para qualquer temos
- Novamente é constante igual a
em relação a , então a derivada é zero. Formalmente,
Passo 5
Verificação via regra da cadeia (intuição adicional e fórmula prática):
- Considere
. Temos . - Derivada de
em relação a é . - Pela regra da cadeia para parciais:
- Como
, obtemos
- Avaliando em
: , e , então
- De forma análoga,
e em
isso dá
Essa verificação confirma os resultados obtidos pelos limites.
Passo 6
Resumo e interpretação rápida (para a prova): fixar uma variável igual a zero torna
e
, então ao variar a outra variável a função fica constante igual a
, daí a parcial é zero. A regra da cadeia também dá zero porque aparece um fator
(ou
) multiplicando
, e no ponto
esse fator anula a expressão.