Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função
f(x,y)=\frac{x^2 - y2}{x2 + y^2} para (x,y)≠(0,0) e a derivada parcial em (0,0) usando a definição de limite. O conteúdo principal é derivada parcial, que para pontos regulares usamos a regra do quociente, e no ponto singular usamos a definição (e similar para y).
f(x,y)=\frac{x^2 - y2}{x2 + y^2} para (x,y)≠(0,0) e a derivada parcial em (0,0) usando a definição de limite. O conteúdo principal é derivada parcial, que para pontos regulares usamos a regra do quociente, e no ponto singular usamos a definição
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra do quociente na variável x. O numerador é
e o denominador é
. Calculamos:
Passo 3
Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra do quociente na variável y. Agora
e
. Assim:
Passo 4
No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial em x:
Esse limite não existe (vai para
ou
dependendo do sinal de h).
Passo 5
De modo análogo para y:
Também não existe. Portanto, as derivadas parciais em (0,0) não existem.
Resposta
Para (x,y)≠(0,0):
Em (0,0):