Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2,(x, y) neq(0,0) e f(0,0)=0,(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função
f(x,y)=\frac{x^2 - y2}{x2 + y^2} para (x,y)≠(0,0) e a derivada parcial em (0,0) usando a definição de limite. O conteúdo principal é derivada parcial, que para pontos regulares usamos a regra do quociente, e no ponto singular usamos a definição ∂f∂x(0,0)=limh→0f(h,0)-f(0,0)h (e similar para y).

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra do quociente na variável x. O numerador é u(x,y)=x^2 - y^2 e o denominador é v(x,y)=x^2 + y^2. Calculamos:
∂f∂x(x,y)=ux,v - u,vxv^2 = (2x)(x^2+y^2) - (x^2 - y^2)(2x)(x^2+y^2)^2 = 4x y^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra do quociente na variável y. Agora uy=-2y e vy=2y. Assim:
∂f∂y(x,y)=uy,v - u,vyv^2 = (-2y)(x^2+y^2) - (x^2 - y^2)(2y)(x^2+y^2)^2 = -4x^2 y(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0), usamos a definição de derivada parcial em x:
∂f∂x(0,0)=limh→0f(h,0)-f(0,0)h = limh→01-0h = limh→01h
Esse limite não existe (vai para +∞ ou -∞ dependendo do sinal de h).

Passo 5

De modo análogo para y:
∂f∂y(0,0)=limk→0f(0,k)-f(0,0)k = limk→0-1-0k = limk→0-1k
Também não existe. Portanto, as derivadas parciais em (0,0) não existem.

Resposta

Para (x,y)≠(0,0):
∂f∂x(x,y)=4x y^2(x^2+y^2)^2, ∂f∂y(x,y)=-4x^2 y(x^2+y^2)^2
Em (0,0):
∂f∂y(0,0) não existe e não existe.

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