Sejam uma função real diferenciável e uma função vetorial. Se e , calcule .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável, e uma função vetorial . Nos dão as derivadas parciais de em um ponto específico :
O que precisamos calcular é a derivada de composta com em , ou seja, . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. Se temos e e são funções de , então a derivada de composta com é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Vamos encontrar e a partir de :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
Passo 5
Sabemos que ddt(f circ sigma)g|t=pi4 = fx cdot dxdt + fy cdot dydt e = (-8 raiz2) cdot (-2 raiz2) + (4 raiz2) cdot (raiz2) . Substituindo na expressão da regra da cadeia: