(2,0) Sejam z=f(x, y) uma função real diferenciável e sigma(t)=(4 cos t, 2 sen t) uma função vetorial. Se fx(raiz8, raiz2)=-8 raiz2 e fy(raiz8, raiz2)=4 raiz2, calcule dd t(f circ sigma)(pi4).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função fx(raiz8, raiz2) = -8 raiz2 e fy(raiz8, raiz2) = 4 raiz2 que é diferenciável, e uma função vetorial . Nos dão as derivadas parciais de em um ponto específico :
O que precisamos calcular é a derivada de composta com em , ou seja, . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. Se temos ddt(f circ sigma) = fx cdot dxdt + fy cdot dydt e e são funções de , então a derivada de composta com é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos encontrar x(t) = 4 cos t Rightarrow dxdt = -4 sen t e y(t) = 2 sen t Rightarrow dydt = 2 cos t a partir de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em dxdtg|t=pi4 = -4 sen(pi4) = -4 cdot raiz22 = -2 raiz2 :
dydtg|t=pi4 = 2 cos(pi4) = 2 cdot raiz22 = raiz2

Passo 5

Sabemos que ddt(f circ sigma)g|t=pi4 = fx cdot dxdt + fy cdot dydt e = (-8 raiz2) cdot (-2 raiz2) + (4 raiz2) cdot (raiz2) . Substituindo na expressão da regra da cadeia:

Passo 6

Vamos calcular os produtos:
(-8 raiz2) cdot (-2 raiz2) = 16 cdot 2 = 32
(4 raiz2) cdot (raiz2) = 4 cdot 2 = 8
Agora, somamos os resultados:
32 + 8 = 40

Resposta

ddt(f circ sigma)(pi4) = 40

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