Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=sin (x+y4 x^2+y)-[cos (5 x^3+1)^2]^10

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=sin((x+y)/(4x²+y)) – [cos((5x³+1)²)]¹⁰.
Vamos usar regra do quociente, regra da cadeia e derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro definimos u(x,y)= x+y4x^2+y. Para calcular partial upartial x aplicamos a regra do quociente:
u(x,y)=x+y4x^2+y
partial upartial x=(1),(4x^2+y)-(x+y),(8x)(4x^2+y)^2=y-4x^2-8xy(4x^2+y)^2

Passo 3

Agora derivamos o primeiro termo: sin(u). Pela regra da cadeia:
partialpartial xsin(u)=cos(u),partial upartial x

Passo 4

Para o segundo termo definimos:
g(x)=(5x^3+1)^2, h(x)=cos(g(x)), j(x)=h(x)^10
Aplicando regra da cadeia várias vezes e derivada de cos:
g'(x)=2(5x^3+1)cdot15x^2=30x^2(5x^3+1)
h'(x)=-sin(g(x)),g'(x)
j'(x)=10h(x)^9,h'(x)=-300x^2(5x^3+1),cos(g(x))^9,sin(g(x))

Passo 5

Juntando tudo, como f=sin(u)–j(x), temos:
partial fpartial x=cos(u)y-4x^2-8xy(4x^2+y)^2+300x^2(5x^3+1),cos((5x^3+1)^2)^9,sin((5x^3+1)^2)

Passo 6

Para partial fpartial y só entra o primeiro termo. Calculamos partial upartial y pela regra do quociente:
partial upartial y=(1)(4x^2+y)-(x+y)(1)(4x^2+y)^2=4x^2-x(4x^2+y)^2
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partial fpartial y=cos(u),4x^2-x(4x^2+y)^2

Resposta

partial fpartial x(x,y)=cosl(x+y4x^2+yr)y-4x^2-8xy(4x^2+y)^2+300x^2(5x^3+1),cosl((5x^3+1)^2r)^9,sinl((5x^3+1)^2r)
partial fpartial y(x,y)=cosl(x+y4x^2+yr)4x^2-x(4x^2+y)^2

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