Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=e^3 x y4 x+7 x y,(x, y)=(1,0)

Passo 1

A função dada é f(x,y) = e^{\frac{3xy}{4x+7xy}} e queremos as derivadas parciais em (x,y)=(1,0). O conteúdo aqui envolve a regra da cadeia e a regra do quociente, já que podemos escrever f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=\frac{3xy}{4x+7xy}.

Passo 2

Definimos u(x,y)=\frac{3xy}{4x+7xy}. Pela regra da cadeia temos
f_x(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot u_x(x,y)
e
f_y(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot u_y(x,y).

Passo 3

Para encontrar u_x usamos a regra do quociente. Temos
ux(x,y)=3y,(4x+7xy)-3xy,(4+7y)(4x+7xy)^2

Passo 4

Agora avaliamos em (1,0). Primeiro u(1,0)=0 então e^{u(1,0)}=1. Em u_x(1,0) o numerador fica 3·0·4 - 3·1·0·(4+0)=0 e o denominador é 4^2=16, logo u_x(1,0)=0. Assim
f_x(1,0)=1\cdot0=0.

Passo 5

Para u_y aplicamos de novo a regra do quociente:
uy(x,y)=3x,(4x+7xy)-3xy,(7x)(4x+7xy)^2
Em (1,0) isso dá numerador 3·1·4 - 3·1·0·7=12 e denominador 16, logo u_y(1,0)=12/16=3/4. Como e^{u(1,0)}=1 temos f_y(1,0)=1\cdot(3/4)=3/4.

Resposta

partial f/partial x(1,0)=0, partial f/partial y(1,0)=tfrac34

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