Calcule as derivadas parciais das funções nos pontos pedidos.
Passo 1
A função dada é f(x,y) = e^{\frac{3xy}{4x+7xy}} e queremos as derivadas parciais em (x,y)=(1,0). O conteúdo aqui envolve a regra da cadeia e a regra do quociente, já que podemos escrever f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=\frac{3xy}{4x+7xy}.
Passo 2
Definimos u(x,y)=\frac{3xy}{4x+7xy}. Pela regra da cadeia temos
f_x(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot u_x(x,y)
e
f_y(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot u_y(x,y).
f_x(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot u_x(x,y)
e
f_y(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot u_y(x,y).
Passo 3
Para encontrar u_x usamos a regra do quociente. Temos
Passo 4
Agora avaliamos em (1,0). Primeiro u(1,0)=0 então e^{u(1,0)}=1. Em u_x(1,0) o numerador fica 3·0·4 - 3·1·0·(4+0)=0 e o denominador é 4^2=16, logo u_x(1,0)=0. Assim
f_x(1,0)=1\cdot0=0.
f_x(1,0)=1\cdot0=0.
Passo 5
Para u_y aplicamos de novo a regra do quociente:
Em (1,0) isso dá numerador 3·1·4 - 3·1·0·7=12 e denominador 16, logo u_y(1,0)=12/16=3/4. Como e^{u(1,0)}=1 temos f_y(1,0)=1\cdot(3/4)=3/4.